Объём конуса с общим основанием и высотой с цилиндром

Разберём, как связаны объёмы цилиндра и конуса, если их основания и высоты совпадают.

Исходная задача

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен $6$ . Найдите объём конуса.

Справочник

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

$V_{\text{цил}}=S_{\text{осн}}h.$

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту:

$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h.$

Поэтому при одинаковых площадях оснований и равных высотах объём конуса составляет треть объёма цилиндра.

Решение

1. У цилиндра и конуса общее основание, значит, площади их оснований равны. По условию равны и их высоты.

2. Используем отношение объёмов:

$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}V_{\text{цил}}=\frac{6}{3}=2.$

Ответ: $2$ .

Похожие задачи

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен $15$ . Найдите объём конуса.

При равных площадях оснований и высотах объём конуса втрое меньше объёма цилиндра:

$V_{\text{кон}}=\frac{15}{3}=5.$

Ответ: $5$ .

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен $8$ . Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра втрое больше объёма конуса с теми же основанием и высотой:

$V_{\text{цил}}=3V_{\text{кон}}=3\cdot8=24.$

Ответ: $24$ .

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен $21$ . Найдите разность объёмов цилиндра и конуса.

Сначала найдём объём конуса, затем вычтем его из объёма цилиндра:

$V_{\text{кон}}=\frac{21}{3}=7,$

$V_{\text{цил}}-V_{\text{кон}}=21-7=14.$

Ответ: $14$ .

Комментарии