Сегодня, 04:15

Уровень воды при переливании в цилиндр большего радиуса

Как изменится высота воды, если перелить её в цилиндрический сосуд с вдвое большим радиусом основания? Разберём решение через сохранение объёма.

Исходная задача

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 80$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Справочник

Что нужно знать

Объём жидкости в цилиндрическом сосуде равен произведению площади основания на высоту слоя жидкости:

$V = S_{\text{осн}}h = \pi r^2h.$

Здесь $r$ — радиус основания, $h$ — высота слоя жидкости.

При переливании без потерь объём воды сохраняется. Поэтому для двух цилиндрических сосудов:

$\pi r_1^2h_1 = \pi r_2^2h_2, \qquad h_2 = h_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2.$

Если радиус увеличить в $k$ раз, площадь основания увеличится в $k^2$ раз, а уровень той же воды уменьшится в $k^2$ раз.

Решение

1. Обозначим размеры сосудов. Пусть радиус основания первого сосуда равен $r$ , а искомый уровень воды во втором сосуде — $H$ . Радиус второго сосуда равен $2r$ .

2. Приравняем объёмы воды. При переливании количество воды не меняется:

$\pi r^2\cdot 80 = \pi(2r)^2H.$

3. Найдём новый уровень. Поскольку $(2r)^2 = 4r^2$ , после сокращения на $\pi r^2$ получаем:

$80 = 4H, \qquad H = 20\text{ см}.$

Радиус увеличился вдвое, поэтому площадь основания увеличилась в четыре раза, а уровень воды стал в четыре раза ниже.

Ответ: 20 см.

Похожие задачи

Похожая задача 1

В цилиндрическом сосуде вода находится на уровне $90$ см. Её переливают в другой цилиндрический сосуд, радиус основания которого втрое больше. На каком уровне окажется вода? Ответ дайте в сантиметрах.

Краткое решение. Площадь основания увеличится в $3^2 = 9$ раз. При том же объёме уровень воды уменьшится в девять раз:

$h_2 = \frac{90}{9} = 10\text{ см}.$

Ответ: 10 см.

Похожая задача 2

Вода в цилиндрическом сосуде находится на уровне $64$ см. Её переливают в другой цилиндрический сосуд с вдвое большим радиусом основания. Найдите новый уровень воды в сантиметрах.

Краткое решение. При увеличении радиуса вдвое площадь основания увеличивается в $2^2 = 4$ раза:

$h_2 = \frac{64}{4} = 16\text{ см}.$

Ответ: 16 см.

Похожая задача 3

В цилиндрическом сосуде вода находится на уровне $18$ см. Её переливают в другой цилиндрический сосуд, радиус основания которого вдвое меньше. Сосуд достаточно высокий, вода не выливается. Найдите новый уровень воды в сантиметрах.

Краткое решение. Площадь основания уменьшится в четыре раза, поэтому высота слоя воды увеличится в четыре раза:

$h_2 = 18\cdot 4 = 72\text{ см}.$

Ответ: 72 см.