Сегодня, 17:01

Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Как найти объём пирамиды по стороне квадратного основания и боковому ребру: справочные формулы, пошаговое решение и три задачи для тренировки.

Исходная задача

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $4$ , а боковое ребро равно $\sqrt{17}$ .

Буквенные обозначения введены для решения; пунктиром показаны невидимые рёбра и высота.

Справочник

Что нужно знать

У правильной четырёхугольной пирамиды основание — квадрат, а высота проходит через его центр. Все боковые рёбра равны.

Пусть $a$ — сторона основания, $l$ — боковое ребро, $h$ — высота. Диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$ , поэтому расстояние от его центра до вершины:

$R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Высота и объём. Высота, отрезок от центра основания до его вершины и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Боковое ребро — его гипотенуза.

$h=\sqrt{l^2-R^2},\qquad V=\frac{1}{3}a^2h.$

Не путайте боковое ребро с апофемой: апофема соединяет вершину пирамиды с серединой стороны основания.

Решение

1. Найдём расстояние от центра основания до вершины

Обозначим вершину пирамиды через $S$ , центр квадратного основания — через $O$ . Отрезок $OC$ равен половине диагонали квадрата:

$OC=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$

2. Вычислим высоту пирамиды

Поскольку $SO$ перпендикулярен плоскости основания, треугольник $SOC$ прямоугольный с гипотенузой $SC$ . По теореме Пифагора:

$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{17-8}=3.$

3. Найдём объём

Площадь квадратного основания равна $4^2=16$ . Следовательно,

$V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot3=16.$

Ответ: $16$ .

Похожие задачи

Задача 1

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $6$ , а боковое ребро равно $\sqrt{43}$ .

Краткое решение. Квадрат расстояния от центра основания до его вершины равен $R^2=\frac{6^2}{2}=18$ .

$h=\sqrt{43-18}=5,\qquad V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot5=60.$

Ответ: $60$ .

Задача 2

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $2$ , а боковое ребро равно $\sqrt{11}$ .

Краткое решение. Квадрат расстояния от центра основания до его вершины равен $R^2=\frac{2^2}{2}=2$ .

$h=\sqrt{11-2}=3,\qquad V=\frac{1}{3}\cdot4\cdot3=4.$

Ответ: $4$ .

Задача 3

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна $8$ , а боковое ребро равно $\sqrt{41}$ .

Краткое решение. Квадрат расстояния от центра основания до его вершины равен $R^2=\frac{8^2}{2}=32$ .

$h=\sqrt{41-32}=3,\qquad V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot3=64.$

Ответ: $64$ .