0
Сегодня, 03:53
В закладки
Обсудить
Жалоба
16+

Длина линейной комбинации векторов по рисунку

Математика | 4ЕГЭ курсы → | 4ЕГЭ ИИ →
Исходная задача

На координатной плоскости изображены векторы a⃗\vec a и b⃗\vec b, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора a⃗+4b⃗\vec a+4\vec b.

011xy→a→b
Справочник

Как читать координаты вектора

Координаты вектора — это изменения координат при движении от его начала к концу. Направление показывает стрелка.

Если начало вектора — точка A(xA;yA)A(x_A;y_A), а конец — точка B(xB;yB)B(x_B;y_B), то

AB→=(xB−xA; yB−yA).\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A).

Смещение вправо даёт положительную первую координату, влево — отрицательную. Смещение вверх даёт положительную вторую координату, вниз — отрицательную.

Действия с векторами и их длина

Пусть u⃗=(ux;uy)\vec u=(u_x;u_y), v⃗=(vx;vy)\vec v=(v_x;v_y), а kk — число. Действия выполняют отдельно с каждой координатой:

kv⃗=(kvx;kvy),k\vec v=(kv_x;kv_y),

u⃗+kv⃗=(ux+kvx; uy+kvy).\vec u+k\vec v=(u_x+kv_x;\ u_y+kv_y).

Длину вектора находят по теореме Пифагора:

∣u⃗∣=ux2+uy2.|\vec u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.

Если одна координата равна нулю, длина равна модулю другой координаты.

Решение

1. Определяем координаты векторов

По отметкам единицы на осях видно, что сторона одной клетки соответствует одной единице.

Вектор a⃗\vec a начинается в точке (1;1)(1;1) и заканчивается в точке (4;5)(4;5). Поэтому

a⃗=(4−1; 5−1)=(3;4).\vec a=(4-1;\ 5-1)=(3;4).

Вектор b⃗\vec b начинается в точке (3;3)(3;3) и заканчивается в точке (5;2)(5;2). Он направлен на две клетки вправо и на одну вниз:

b⃗=(5−3; 2−3)=(2;−1).\vec b=(5-3;\ 2-3)=(2;-1).

2. Находим координаты нужного вектора

Умножаем обе координаты вектора b⃗\vec b на число 44:

4b⃗=(8;−4).4\vec b=(8;-4).

Складываем соответствующие координаты:

a⃗+4b⃗=(3+8; 4−4)=(11;0).\vec a+4\vec b=(3+8;\ 4-4)=(11;0).

3. Вычисляем длину

Полученный вектор горизонтален, поскольку его вторая координата равна нулю.

∣a⃗+4b⃗∣=112+02=11.|\vec a+4\vec b|=\sqrt{11^2+0^2}=11.

Ответ: 1111.

Похожие задачи

Похожая задача 1

Даны векторы a⃗=(2;3)\vec a=(2;3) и b⃗=(1;−1)\vec b=(1;-1). Найдите длину вектора a⃗+3b⃗\vec a+3\vec b.

Краткое решение. Выполним действия с координатами:

a⃗+3b⃗=(2+3; 3−3)=(5;0).\vec a+3\vec b=(2+3;\ 3-3)=(5;0).

Длина равна 52+02=5\sqrt{5^2+0^2}=5.

Ответ: 55.

Похожая задача 2

Даны векторы a⃗=(−1;2)\vec a=(-1;2) и b⃗=(2;1)\vec b=(2;1). Найдите длину вектора a⃗+2b⃗\vec a+2\vec b.

Краткое решение. Находим координаты суммы:

a⃗+2b⃗=(−1+4; 2+2)=(3;4).\vec a+2\vec b=(-1+4;\ 2+2)=(3;4).

Длина равна 32+42=25=5\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.

Ответ: 55.

Похожая задача 3

Даны векторы a⃗=(4;1)\vec a=(4;1) и b⃗=(2;3)\vec b=(2;3). Найдите длину вектора a⃗−2b⃗\vec a-2\vec b.

Краткое решение. Вычитаем удвоенные координаты второго вектора:

a⃗−2b⃗=(4−4; 1−6)=(0;−5).\vec a-2\vec b=(4-4;\ 1-6)=(0;-5).

Длина равна 02+(−5)2=5\sqrt{0^2+(-5)^2}=5. Длина вектора не бывает отрицательной.

Ответ: 55.

Похожие материалы
Длина линейной комбинации векторов
Как найти длину вектора по координатам: действия с векторами, пошаговое решен...
Логарифмическое неравенство с заменой переменной
Разбираем, как свести неравенство с логарифмами к рациональному и не потерять...
Разность квадратов косинуса и синуса
Как вычислить тригонометрическое выражение с помощью формулы косинуса двойног...
Углы четырёхугольника, вписанного в окружность
Разбираем, как найти угол вписанного четырёхугольника с помощью вписанных угл...
Пятиминутки для подготовки к базовому ЕГЭ по математике
Два равноценных варианта по 5 заданий: вычисления, проценты, уравнения, геоме...

Комментарии

Обработка персональных данных

Отправляя комментарий, вы даёте согласие на обработку своих персональных данных на условиях и для целей, определённых в политике в отношении обработки персональных данных, а также принимаете Пользовательское соглашение.