Сегодня, 03:33

Разность квадратов косинуса и синуса

Математика | 4ЕГЭ курсы → | 4ЕГЭ ИИ →

Исходная задача

Найдите значение выражения $4\sqrt{3}\cos^2\frac{23\pi}{12}-4\sqrt{3}\sin^2\frac{23\pi}{12}$ .

Справочник

Формулы для решения

Косинус двойного угла:

$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha.$

Периодичность и чётность косинуса:

$\cos(x+2\pi k)=\cos x,\quad k\in\mathbb{Z};\qquad \cos(-x)=\cos x.$

Табличное значение: $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Решение

Шаг 1. Применяем формулу двойного угла

Выносим общий множитель и преобразуем разность квадратов:

$\begin{aligned}4\sqrt{3}\left(\cos^2\frac{23\pi}{12}-\sin^2\frac{23\pi}{12}\right)&=4\sqrt{3}\cos\left(2\cdot\frac{23\pi}{12}\right)\\&=4\sqrt{3}\cos\frac{23\pi}{6}.\end{aligned}$

Шаг 2. Приводим угол и вычисляем

Поскольку $\frac{23\pi}{6}=4\pi-\frac{\pi}{6}$ , по периодичности и чётности косинуса:

$\cos\frac{23\pi}{6}=\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Следовательно, значение выражения равно

$4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6.$

Ответ: $6$ .

Похожие задачи

Похожая задача 1

Найдите значение выражения $6\sqrt{3}\cos^2\frac{13\pi}{12}-6\sqrt{3}\sin^2\frac{13\pi}{12}$ .

Краткое решение. Используем формулу двойного угла и вычитаем период:

$\begin{aligned}6\sqrt{3}\cos\frac{13\pi}{6}&=6\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}\\&=6\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=9.\end{aligned}$

Ответ: $9$ .

Похожая задача 2

Найдите значение выражения $4\sqrt{2}\cos^2\frac{17\pi}{8}-4\sqrt{2}\sin^2\frac{17\pi}{8}$ .

Краткое решение. Удваиваем угол и используем периодичность:

$\begin{aligned}4\sqrt{2}\cos\frac{17\pi}{4}&=4\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}\\&=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4.\end{aligned}$

Ответ: $4$ .

Похожая задача 3

Найдите значение выражения $8\cos^2\frac{7\pi}{6}-8\sin^2\frac{7\pi}{6}$ .

Краткое решение. Преобразуем разность квадратов в косинус двойного угла:

$8\cos\frac{7\pi}{3}=8\cos\frac{\pi}{3}=8\cdot\frac{1}{2}=4.$