Сегодня, 03:23

Углы четырёхугольника, вписанного в окружность

Исходная задача

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $61^\circ$ , угол $CAD$ равен $37^\circ$ . Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

Справочник

Что понадобится для решения

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. В частности, это верно для углов, опирающихся на одну хорду и имеющих вершины по одну сторону от неё.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$ .
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают $180^\circ$ .

Решение

1. Найдём угол при вершине C

Углы $ABD$ и $ACD$ опираются на одну и ту же дугу $AD$ , не содержащую точек $B$ и $C$ . Поэтому они равны:

\angle ACD=\angle ABD=61^\circ.

2. Рассмотрим треугольник ACD

По сумме углов треугольника:

\angle ADC=180^\circ-37^\circ-61^\circ=82^\circ.

3. Используем свойство вписанного четырёхугольника

Углы $ABC$ и $ADC$ — противоположные, поэтому их сумма равна $180^\circ$ :

\angle ABC=180^\circ-82^\circ=98^\circ.

Ответ: 98.

Похожие задачи

Похожая задача 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $52^\circ$ , угол $CAD$ равен $28^\circ$ . Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

Краткое решение. Углы $ACD$ и $ABD$ опираются на одну дугу, поэтому $\angle ACD=52^\circ$ . В треугольнике $ACD$ получаем $\angle ADC=180^\circ-52^\circ-28^\circ=100^\circ$ . Тогда $\angle ABC=180^\circ-100^\circ=80^\circ$ .

Ответ: 80.

Похожая задача 2

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $46^\circ$ , угол $CAD$ равен $39^\circ$ . Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

Краткое решение. По равенству вписанных углов $\angle ACD=46^\circ$ . Тогда $\angle ADC=180^\circ-46^\circ-39^\circ=95^\circ$ . Противоположный ему угол $ABC$ равен $180^\circ-95^\circ=85^\circ$ .

Ответ: 85.

Похожая задача 3

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $68^\circ$ , угол $CAD$ равен $34^\circ$ . Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

Краткое решение. Угол $ACD$ равен углу $ABD$ , то есть $68^\circ$ . В треугольнике $ACD$ : $\angle ADC=180^\circ-68^\circ-34^\circ=78^\circ$ . Следовательно, $\angle ABC=180^\circ-78^\circ=102^\circ$ .

Ответ: 102.