Логарифмическое неравенство с заменой переменной

Что нужно знать

• Логарифм $\log_a u$ определён при $u>0$, если $a>0$ и $a\ne1$.
• Для положительных аргументов: $\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v$ и $\log_a(u^k)=k\log_a u$.
• Запись $\log_a^2 x$ означает $(\log_a x)^2$, а не $\log_a(x^2)$.
• Знаменатель каждой дроби должен быть отличен от нуля. Эти ограничения сохраняются при любых преобразованиях.

Пошаговое решение

1. Область допустимых значений

Все аргументы логарифмов положительны при $x>0$. Знаменатели не должны обращаться в нуль:

$$\log_2 x\ne5,\qquad \log_2 32x\ne0,\qquad (\log_2 x)^2\ne25.$$

Поскольку $\log_2 32x=5+\log_2 x$, получаем:

$$x>0,\qquad x\ne\frac1{32},\qquad x\ne32.$$

2. Замена переменной и преобразование

Пусть $t=\log_2 x$. Тогда $t\ne-5$, $t\ne5$, а также

$$\log_2 32x=t+5,\qquad \log_2 x^{16}=16t.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{t+5}{t-5}+\frac{t-5}{t+5}\geq\frac{16t+18}{t^2-25}.$$

Перенесём правую часть влево и приведём к общему знаменателю:

$$\begin{aligned}\frac{(t+5)^2+(t-5)^2-(16t+18)}{t^2-25}&\geq0,\\\frac{2t^2-16t+32}{t^2-25}&\geq0,\\\frac{2(t-4)^2}{(t-5)(t+5)}&\geq0.\end{aligned}$$

3. Анализ знаков и обратная замена

При $t\ne4$ числитель положителен, поэтому дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен: $t<-5$ или $t>5$.

При $t=4$ числитель равен нулю, а знаменатель равен $-9\ne0$. Следовательно, $t=4$ также подходит. Точки $t=-5$ и $t=5$ исключены по ОДЗ.

Итак,

$$t\in(-\infty;-5)\cup\{4\}\cup(5;+\infty).$$

Так как $x=2^t$ и основание больше единицы, получаем соответственно $0<x<2^{-5}$, $x=2^4$ или $x>2^5$.