Сегодня, 03:50

Длина линейной комбинации векторов

Математика | 4ЕГЭ курсы → | 4ЕГЭ ИИ →

Исходная задача

Даны векторы $\vec a\;(1;\;2)$ и $\vec b\;(2;\;-1)$ . Найдите длину вектора $8\vec a+4\vec b$ .

Исходные векторы отложены от начала координат; масштаб по осям одинаковый.

Справочник

Формулы для решения

Пусть $\vec u=(x_1;\;y_1)$ , $\vec v=(x_2;\;y_2)$ , а $k$ и $m$ — числа.

Умножение на число. Каждую координату умножают на это число:

$k\vec u=(kx_1;\;ky_1).$

Линейная комбинация. Соответствующие координаты складывают с учётом коэффициентов:

$k\vec u+m\vec v=(kx_1+mx_2;\;ky_1+my_2).$

Длина вектора

Длина вектора $\vec w=(x;\;y)$ находится по теореме Пифагора:

$|\vec w|=\sqrt{x^2+y^2}.$

Сначала вычислите координаты нужного вектора, затем подставьте их в формулу длины. Длина суммы векторов в общем случае не равна сумме их длин.

Решение

1. Умножим векторы на заданные числа.

$8\vec a=(8\cdot1;\;8\cdot2)=(8;\;16),$

$4\vec b=(4\cdot2;\;4\cdot(-1))=(8;\;-4).$

2. Сложим соответствующие координаты.

$8\vec a+4\vec b=(8+8;\;16-4)=(16;\;12).$

3. Найдём длину полученного вектора.

$|8\vec a+4\vec b|=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=20.$

Ответ: $20$ .

Похожие задачи

Похожая задача 1

Даны векторы $\vec a=(2;\;1)$ и $\vec b=(1;\;-2)$ . Найдите длину вектора $2\vec a+\vec b$ .

Краткое решение. Вычислим координаты:

$2\vec a+\vec b=(4+1;\;2-2)=(5;\;0).$

Следовательно, $|2\vec a+\vec b|=\sqrt{5^2+0^2}=5$ .

Ответ: $5$ .

Похожая задача 2

Даны векторы $\vec a=(1;\;-1)$ и $\vec b=(2;\;1)$ . Найдите длину вектора $3\vec a+\vec b$ .

Краткое решение. Вычислим координаты:

$3\vec a+\vec b=(3+2;\;-3+1)=(5;\;-2).$

Тогда $|3\vec a+\vec b|=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{29}$ .

Ответ: $\sqrt{29}$ .

Похожая задача 3

Даны векторы $\vec a=(3;\;0)$ и $\vec b=(0;\;4)$ . Найдите длину вектора $2\vec a-\vec b$ .

Краткое решение. При вычитании координаты второго вектора вычитают из соответствующих координат первого:

$2\vec a-\vec b=(6-0;\;0-4)=(6;\;-4).$

Поэтому $|2\vec a-\vec b|=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ .

Ответ: $2\sqrt{13}$ .