Показательное уравнение с делением степеней

Свойства степеней для решения

При делении степеней с одинаковым положительным основанием показатели вычитают:

$$a^u:a^v=a^{u-v},\qquad a>0.$$

Если показатель делителя — выражение из нескольких слагаемых, его нужно вычитать целиком, заключив в скобки.

Пошаговое решение

1. Применим правило деления степеней. Основания одинаковы, поэтому вычитаем показатели:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{(7x+4)-(-5x+3)}=\frac{1}{81}.$$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$(7x+4)-(-5x+3)=7x+4+5x-3=12x+1.$$

2. Представим правую часть как степень с тем же основанием.

$$81=3^4,\qquad \frac{1}{81}=\left(\frac{1}{3}\right)^4.$$

Получаем:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{12x+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^4.$$

3. Приравняем показатели. Основание $\dfrac{1}{3}$ положительно и не равно единице, поэтому:

$$12x+1=4\quad\Longrightarrow\quad 12x=3\quad\Longrightarrow\quad x=\frac14.$$

Проверка. При $x=\dfrac14$ показатели исходных степеней равны $\dfrac{23}{4}$ и $\dfrac74$. Их разность равна $4$, значит, частное равно $\left(\dfrac13\right)^4=\dfrac1{81}$.

Ответ: $\dfrac14$.