Объём треугольной призмы, отсечённой от куба

Математика4ЕГЭ курсы → | 4ЕГЭ ИИ →

Разбираем, как найти объём части куба по положению секущей плоскости. Ключевой шаг — сравнить площадь треугольного основания призмы с площадью грани куба.

Исходная задача

Объём куба равен $144$ . Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Буквенные обозначения введены для решения. Отмечены середины двух рёбер; секущая плоскость выделена заливкой.

Справочник

Необходимые формулы

Если ребро куба равно $a$ , то его объём:

$V_{\text{куба}}=a^3.$

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

$V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}\,h.$

Площадь прямоугольного треугольника с катетами $b$ и $c$ :

$S=\frac12bc.$

Как устроена отсечённая часть

Два ребра куба, выходящие из одной вершины, перпендикулярны. Отрезок между их серединами отсекает на грани прямоугольный треугольник, катеты которого вдвое меньше ребра куба.

Если секущая плоскость параллельна третьему ребру, отсечённая часть — прямая треугольная призма. Её высота равна ребру куба.

При равных высотах отношение объёмов призм равно отношению площадей их оснований. Поэтому находить длину ребра куба необязательно.

Решение

1. Определим основание и высоту призмы

Пусть ребро куба равно $a$ . За общую вершину выбранных рёбер примем $C_1$ . Обозначим середины рёбер $C_1D_1$ и $C_1B_1$ через $P$ и $Q$ .

Треугольник $C_1PQ$ — основание отсечённой призмы. Его угол при $C_1$ прямой, а катеты равны:

$C_1P=C_1Q=\frac a2.$

Секущая плоскость параллельна ребру $C_1C$ , поэтому призма простирается от верхней грани куба до нижней. Её высота $h=a$ .

2. Найдём площадь основания

По формуле площади прямоугольного треугольника:

$S_{C_1PQ}=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2=\frac{a^2}{8}.$

Значит, основание призмы составляет $\frac18$ площади грани куба.

3. Вычислим объём

Умножаем площадь основания на высоту призмы:

$V_{\text{призмы}}=\frac{a^2}{8}\cdot a=\frac{a^3}{8}.$

По условию $a^3=144$ , следовательно:

$V_{\text{призмы}}=\frac{144}{8}=18.$

Ответ: $18$ .

Похожие задачи

Похожая задача 1

Объём куба равен $64$ . Плоскость проходит через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельна третьему ребру, выходящему из той же вершины. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Краткое решение. При ребре куба $a$ основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами $\frac a2$ , а высота призмы равна $a$ . Поэтому:

$V=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2\cdot a=\frac{a^3}{8}=\frac{64}{8}=8.$

Ответ: $8$ .

Похожая задача 2

Ребро куба равно $6$ . Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой плоскостью, которая проходит через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельна третьему ребру, выходящему из той же вершины.

Краткое решение. Катеты треугольного основания равны $3$ , высота призмы равна $6$ . Следовательно:

$V=\frac12\cdot3\cdot3\cdot6=27.$

Ответ: $27$ .

Похожая задача 3

От куба отсекли треугольную призму плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из той же вершины. Объём отсечённой призмы равен $15$ . Найдите объём оставшейся части куба.

Краткое решение. Отсечённая призма составляет $\frac18$ объёма куба. Тогда объём куба равен $8\cdot15=120$ , а объём оставшейся части:

$V_{\text{ост}}=120-15=105.$

Ответ: $105$ .