Объём шара, в который вписан конус

Как равенство радиусов основания конуса и шара определяет высоту конуса и позволяет найти отношение объёмов.

Исходная задача

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен $12$ . Найдите объём шара.

Справочник

Что нужно знать

Обозначим радиус шара через $R$ , радиус основания конуса — через $r$ , высоту конуса — через $h$ .

Объём конуса: $V_{\text{конуса}}=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$ .
Объём шара: $V_{\text{шара}}=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ .
Если плоскость пересекает шар на расстоянии $d$ от его центра, то радиус круга сечения удовлетворяет равенству $r^2=R^2-d^2$ .

Геометрический смысл. Самое большое круговое сечение шара проходит через его центр. Радиус такого сечения равен радиусу шара. У прямого кругового конуса высота перпендикулярна плоскости основания и проходит через центр основания.

Решение

1. Определим положение основания. Пусть $R$ — радиус шара, а $d$ — расстояние от его центра до плоскости основания конуса. По условию $r=R$ . Поэтому

R^2=R^2-d^2,\qquad d=0.

Значит, плоскость основания проходит через центр шара, а центр основания совпадает с центром шара.

2. Найдём высоту конуса. Вершина вписанного конуса лежит на поверхности шара. Высота соединяет вершину с центром основания, то есть с центром шара. Следовательно, $h=R$ .

3. Сравним объёмы. Подставим $r=R$ и $h=R$ в формулу объёма конуса:

V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi R^3.

Объём шара в четыре раза больше:

V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3=4V_{\text{конуса}}=4\cdot12=48.

Ответ: $48$ .

Похожие задачи

1. Другой объём конуса

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен $7$ . Найдите объём шара.

Краткое решение. Основание проходит через центр шара, поэтому $r=h=R$ . Следовательно, объём шара в четыре раза больше объёма конуса:

V_{\text{шара}}=4\cdot7=28.

Ответ: $28$ .

2. Обратная задача

В шар объёмом $60$ вписан конус. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Найдите объём конуса.

Краткое решение. При равенстве радиусов высота конуса равна радиусу шара. Отношение объёма конуса к объёму шара равно $\dfrac{1}{4}$ :

V_{\text{конуса}}=\frac{60}{4}=15.

Ответ: $15$ .

3. По известному радиусу

Конус вписан в шар радиуса $3$ . Радиус основания конуса равен радиусу шара. Найдите объёмы конуса и шара.

Краткое решение. Радиус основания и высота конуса равны $3$ . По формулам объёмов:

V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi\cdot3^2\cdot3=9\pi,

V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi.

Ответ: объём конуса — $9\pi$ , объём шара — $36\pi$ .