Длина суммы векторов по координатной сетке

Координаты вектора по рисунку

Если вектор направлен из точки $A(x_1;y_1)$ в точку $B(x_2;y_2)$, то его координаты равны разностям координат конца и начала:

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1).$$

Действия с векторами и длина

Пусть $\vec u=(u_x;u_y)$ и $\vec v=(v_x;v_y)$. Умножение на число и сложение выполняют покоординатно:

$$\vec u+k\vec v=(u_x+kv_x;\ u_y+kv_y).$$

Длину вектора $\vec w=(w_x;w_y)$ находят по формуле:

$$|\vec w|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}.$$

Если одна из координат равна нулю, длина равна модулю другой координаты.

Шаг 1. Определяем координаты векторов

Одна клетка соответствует единице по каждой оси. Вектор $\vec a$ начинается в точке $(1;1)$ и заканчивается в точке $(4;5)$. Следовательно,

$$\vec a=(4-1;\ 5-1)=(3;4).$$

Вектор $\vec b$ начинается в точке $(3;3)$ и заканчивается в точке $(5;2)$. Поэтому

$$\vec b=(5-3;\ 2-3)=(2;-1).$$

Шаг 2. Находим сумму и её длину

Умножим координаты второго вектора на четыре:

$$4\vec b=(8;-4).$$

Сложим соответствующие координаты:

$$\vec a+4\vec b=(3+8;\ 4-4)=(11;0).$$

Тогда искомая длина равна

$$|\vec a+4\vec b|=\sqrt{11^2+0^2}=11.$$

Ответ: $11$.