Знак производной по графику функции

Математика4ЕГЭ курсы → | 4ЕГЭ ИИ →

Как по направлению графика определить знак производной в отмеченных точках. Разбор задания и три похожие задачи с краткими решениями.

Исходная задача

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ . На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ , $x_6$ , $x_7$ , $x_8$ , $x_9$ , $x_{10}$ . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

Справочник

Как определить знак производной

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.

Если касательная поднимается слева направо, то $f'(x)>0$ .
Если касательная опускается слева направо, то $f'(x)<0$ .
Если касательная горизонтальна, то $f'(x)=0$ .

На гладких наклонных участках достаточно посмотреть, куда идёт график при движении слева направо: вверх или вниз. Положение графика выше или ниже оси абсцисс определяет знак функции, а не производной.

Решение

Проверим направление графика в каждой отмеченной точке. Нам нужны участки, на которых график опускается слева направо.

Точка	Направление графика	Знак производной
$x_1$	Вверх	$f'(x_1)>0$
$x_2$	Вниз	$f'(x_2)<0$
$x_3$	Вниз	$f'(x_3)<0$
$x_4$	Вверх	$f'(x_4)>0$
$x_5$	Вниз	$f'(x_5)<0$
$x_6$	Вниз	$f'(x_6)<0$
$x_7$	Вверх	$f'(x_7)>0$
$x_8$	Вниз	$f'(x_8)<0$
$x_9$	Вверх	$f'(x_9)>0$
$x_{10}$	Вниз	$f'(x_{10})<0$

Производная отрицательна в точках $x_2$ , $x_3$ , $x_5$ , $x_6$ , $x_8$ , $x_{10}$ . Всего таких точек — $6$ .

Ответ:

6

Похожие задачи

Похожая задача 1

Дана функция $f(x)=-x^2$ . Среди точек с абсциссами $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ найдите количество тех, в которых производная отрицательна.

Находим производную: $f'(x)=-2x$ . Она отрицательна при $x>0$ . Из указанных значений подходят $1$ и $2$ . При $x=0$ производная равна нулю.

Ответ: $2$ .

Похожая задача 2

Дана функция $f(x)=x^3-3x$ . Среди точек с абсциссами $-2$ , $-0{,}5$ , $0$ , $0{,}5$ , $2$ найдите количество тех, в которых производная отрицательна.

Производная $f'(x)=3x^2-3$ отрицательна при $-1<x<1$ . Подходят три значения: $-0{,}5$ , $0$ , $0{,}5$ .

Ответ: $3$ .

Похожая задача 3

Дана функция $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . Среди точек с абсциссами $0$ , $1$ , $1{,}5$ , $2$ , $2{,}5$ , $3$ , $4$ найдите количество тех, в которых производная отрицательна.

Получаем $f'(x)=3(x-1)(x-3)$ . Производная отрицательна при $1<x<3$ . Подходят $1{,}5$ , $2$ , $2{,}5$ . В точках с абсциссами $1$ и $3$ производная равна нулю.