Угол между диаметрами окружности

Что нужно знать

• Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол имеет вершину на окружности, а его стороны пересекают окружность. Он равен половине дуги, на которую опирается.
• Центральный угол вдвое больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.
• Диаметр проходит через центр окружности, поэтому лучи от центра к его концам противоположны. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Решение

1. Найдём центральный угол, опирающийся на дугу $AB$. Вписанный угол $ACB$ опирается на дугу $AB$, не содержащую точку $C$. На эту же дугу опирается центральный угол $AOB$, поэтому

$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot59^\circ=118^\circ.$$

2. Используем диаметр $BD$. Лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Значит, углы $AOB$ и $AOD$ смежные:

$$\angle AOD=180^\circ-118^\circ=62^\circ.$$

Ответ: $62$.