Вчера, 23:31

Вычисление выражения с синусом и косинусом одного угла

Формула синуса двойного угла позволяет быстро найти значение произведения синуса и косинуса. Разберём её применение и закрепим приём на трёх похожих примерах.

Исходная задача

Найдите значение выражения $5\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{8}\cdot\cos\frac{3\pi}{8}$ .

Справочник

Формула двойного угла

Синус двойного угла выражается через произведение синуса и косинуса:

\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.

Поэтому произведение удобно преобразовывать так:

\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin 2\alpha.

Что полезно помнить

При удвоении угла умножают на два всё выражение, задающее угол. Для вычисления синуса во второй четверти используют формулу приведения:

\sin(\pi-\beta)=\sin\beta.

Одно из табличных значений: $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Решение

Пошаговое решение

1. Применим формулу двойного угла при $\alpha=\frac{3\pi}{8}$ :

5\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\sin\frac{3\pi}{4}.

2. Найдём значение синуса:

\sin\frac{3\pi}{4}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

3. Подставим его и упростим:

\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\cdot2}{4}=\frac{5}{2}.

Ответ:

\frac{5}{2}

Похожие задачи

Похожая задача 1

Найдите значение выражения $4\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}$ .

По формуле двойного угла:

4\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}=2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}=2.

Ответ: $2$ .

Похожая задача 2

Найдите значение выражения $6\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}$ .

Удвоенный угол равен $\frac{\pi}{6}$ , поэтому:

6\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}=3\sin\frac{\pi}{6}=\frac{3}{2}.

Ответ: $\frac{3}{2}$ .

Похожая задача 3

Найдите значение выражения $4\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}$ .

Преобразуем произведение в синус двойного угла:

4\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3}=3.

Ответ: $3$ .

4ЕГЭ помощник