Вчера, 20:56

Вычисление выражения по формуле косинуса двойного угла

Исходная задача

Найдите значение выражения $\frac{24(\sin^{2}17^\circ-\cos^{2}17^\circ)}{\cos34^\circ}$ .

Справочник

Косинус двойного угла выражается через разность квадратов косинуса и синуса:

$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha.$

Если квадраты стоят в обратном порядке, появляется знак минус:

$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha.$

Важно: сокращать дробь на общий множитель можно только тогда, когда он не равен нулю. Косинус острого угла положителен.

Решение

1. Преобразуем разность квадратов. Применим формулу двойного угла при $\alpha=17^\circ$ :

$\sin^2 17^\circ-\cos^2 17^\circ=-\cos34^\circ.$

2. Проверим знаменатель. Угол $34^\circ$ острый, поэтому $\cos34^\circ>0$ . Сокращение допустимо.

3. Подставим и сократим.

$\frac{24(-\cos34^\circ)}{\cos34^\circ}=-24.$

Ответ:

-24

Похожие задачи

Найдите значение выражения $\frac{8(\sin^2 13^\circ-\cos^2 13^\circ)}{\cos26^\circ}$ .

Краткое решение. По формуле двойного угла $\sin^2 13^\circ-\cos^2 13^\circ=-\cos26^\circ$ . Так как $\cos26^\circ>0$ , получаем:

$\frac{-8\cos26^\circ}{\cos26^\circ}=-8.$

Ответ: $-8$ .

Найдите значение выражения $\frac{15(\cos^2 29^\circ-\sin^2 29^\circ)}{\cos58^\circ}$ .

Краткое решение. Здесь порядок слагаемых соответствует формуле: $\cos^2 29^\circ-\sin^2 29^\circ=\cos58^\circ$ . Поскольку $\cos58^\circ>0$ ,

$\frac{15\cos58^\circ}{\cos58^\circ}=15.$

Ответ: $15$ .

Найдите значение выражения $\frac{6(\sin^2 38^\circ-\cos^2 38^\circ)}{\cos76^\circ}$ .

Краткое решение. Используем равенство $\sin^2 38^\circ-\cos^2 38^\circ=-\cos76^\circ$ . Учитывая, что $\cos76^\circ>0$ , получаем:

$\frac{-6\cos76^\circ}{\cos76^\circ}=-6.$

Ответ: $-6$ .

Комментарии