Вчера, 23:36

Неравенство с логарифмом по переменному основанию

Разберём, как найти область допустимых значений и свести логарифмическое неравенство к рациональному с помощью замены переменной.

Исходная задача

Решите неравенство $\log_{49}(x+4)+\log_{(x^2+8x+16)}\sqrt{7}\leqslant-\dfrac{3}{4}$ .

Справочник

Что нужно знать

Логарифм $\log_a b$ определён при $a>0$ , $a\ne1$ , $b>0$ .
Формула перехода к новому основанию: $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ , где $c>0$ , $c\ne1$ .
При $u>0$ верно $\log_c(u^2)=2\log_c u$ .
Если $c>1$ , функция $c^t$ возрастает: при переходе от промежутков для $t$ к промежуткам для $c^t$ порядок границ сохраняется.

Как решать рациональное неравенство

Перенесите все слагаемые в одну сторону и приведите их к общей дроби. Отметьте нули числителя и знаменателя, затем определите знак дроби на полученных промежутках.

При нестрогом неравенстве нули числителя включают в ответ, если они допустимы. Нули знаменателя исключают всегда.

Важно: нельзя умножать неравенство на выражение с неизвестным знаком без разбора случаев.

Решение

1. Найдём ОДЗ

Заметим, что $x^2+8x+16=(x+4)^2$ . Для существования обоих логарифмов необходимо:

\begin{cases}x+4>0,\\(x+4)^2>0,\\(x+4)^2\ne1.\end{cases}

При $x+4>0$ второе условие выполняется автоматически, а последнее равносильно $x+4\ne1$ . Значит,

x>-4,\qquad x\ne-3.

2. Введём новую переменную

Пусть $t=\log_7(x+4)$ . Тогда $x+4=7^t$ , причём $t\ne0$ по ОДЗ.

Перепишем логарифмы по основанию $7$ :

\log_{49}(x+4)=\frac{t}{2},

\log_{(x+4)^2}\sqrt7=\frac{\log_7\sqrt7}{\log_7(x+4)^2}=\frac{1/2}{2t}=\frac{1}{4t}.

Получаем неравенство $\dfrac{t}{2}+\dfrac{1}{4t}\leqslant-\dfrac34$ .

3. Решим рациональное неравенство

\begin{aligned}\frac{t}{2}+\frac{1}{4t}+\frac34&\leqslant0,\\\frac{2t^2+3t+1}{4t}&\leqslant0,\\\frac{(2t+1)(t+1)}{4t}&\leqslant0.\end{aligned}

Критические точки: $-1$ , $-\dfrac12$ , $0$ . Знаки дроби на промежутках слева направо: минус, плюс, минус, плюс.

Нули числителя включаем, а $t=0$ исключаем:

t\in(-\infty;-1]\cup\left[-\frac12;0\right).

4. Вернёмся к переменной x

Поскольку $x+4=7^t$ и основание $7>1$ , получаем:

\begin{aligned}t\leqslant-1&\quad\Longrightarrow\quad 0<x+4\leqslant\frac17,\\-\frac12\leqslant t<0&\quad\Longrightarrow\quad \frac1{\sqrt7}\leqslant x+4<1.\end{aligned}

Вычтем $4$ из границ промежутков. Все полученные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

x\in\left(-4;-\dfrac{27}{7}\right]\cup\left[-4+\dfrac1{\sqrt7};-3\right)

Похожие задачи

Похожая задача 1

Решите неравенство $\log_9(x+2)+\log_{(x+2)^2}\sqrt3\leqslant-\dfrac34$ .

Краткое решение. ОДЗ: $x>-2$ , $x\ne-1$ . Введём $t=\log_3(x+2)$ , $t\ne0$ . Тогда

\frac t2+\frac1{4t}\leqslant-\frac34\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{(2t+1)(t+1)}{4t}\leqslant0.

Отсюда $t\in(-\infty;-1]\cup[-\frac12;0)$ . Поэтому $x+2\in(0;\frac13]\cup[\frac1{\sqrt3};1)$ .

Ответ: $x\in\left(-2;-\dfrac53\right]\cup\left[-2+\dfrac1{\sqrt3};-1\right)$ .

Похожая задача 2

Решите неравенство $\log_{25}(x-1)+\log_{(x-1)^2}\sqrt5\geqslant-\dfrac34$ .

Краткое решение. ОДЗ: $x>1$ , $x\ne2$ . Пусть $t=\log_5(x-1)$ , $t\ne0$ . Получаем

\frac{(2t+1)(t+1)}{4t}\geqslant0.

Метод интервалов даёт $t\in[-1;-\frac12]\cup(0;+\infty)$ . Тогда $x-1\in[\frac15;\frac1{\sqrt5}]\cup(1;+\infty)$ .

Ответ: $x\in\left[\dfrac65;1+\dfrac1{\sqrt5}\right]\cup(2;+\infty)$ .

Похожая задача 3

Решите неравенство $\log_{16}(x+1)+\log_{(x+1)^2}2<-\dfrac34$ .

Краткое решение. ОДЗ: $x>-1$ , $x\ne0$ . Введём $t=\log_4(x+1)$ , $t\ne0$ . Так как $2=\sqrt4$ , имеем

\frac{(2t+1)(t+1)}{4t}<0.

Отсюда $t\in(-\infty;-1)\cup(-\frac12;0)$ . Следовательно, $x+1\in(0;\frac14)\cup(\frac12;1)$ . При строгом неравенстве нули числителя не включаются.

Ответ: $x\in\left(-1;-\dfrac34\right)\cup\left(-\dfrac12;0\right)$ .

4ЕГЭ помощник