Математическое ожидание выигрыша на один лотерейный билет

Математическое ожидание

Для дискретной случайной величины $X$, принимающей значения $x_1,\ldots,x_k$ с вероятностями $p_1,\ldots,p_k$, математическое ожидание равно

$$\mathbb{E}X=\sum_{i=1}^{k}x_i p_i.$$

Это среднее значение случайной величины при большом числе повторений опыта, а не обязательно один из возможных результатов.

Как применить формулу к лотерее

Если все $N$ билетов равновероятны, а выигрыш $a_i$ приходится на $n_i$ билетов, то

$$P(X=a_i)=\frac{n_i}{N},\qquad \mathbb{E}X=\frac{\sum_i a_i n_i}{N}.$$

Шаг 1. Определим значения случайной величины

Пусть $X$ — выигрыш по случайно выбранному билету в рублях. Помимо указанных призов, возможен нулевой выигрыш.

Число выигрышных билетов:

$$1000+100+50+10+2=1162.$$

Поэтому без выигрыша остаются $50000-1162=48838$ билетов. Вероятность каждого выигрыша равна числу соответствующих билетов, делённому на $50000$.

Шаг 2. Найдём общую сумму призов

Переведём все суммы в рубли: $10$ тыс. руб. — это $10000$ руб., а $50$ тыс. руб. — $50000$ руб.

Умножим каждый выигрыш на число билетов с таким выигрышем:

$$\begin{aligned}S&=100\cdot1000+1000\cdot100\\&\quad+5000\cdot50+10000\cdot10+50000\cdot2\\&=100000+100000+250000\\&\quad+100000+100000=650000.\end{aligned}$$

Общая сумма призов составляет $650000$ руб.

Шаг 3. Вычислим математическое ожидание

Взвешивание выигрышей по вероятностям равносильно делению общей суммы призов на число всех билетов:

$$\mathbb{E}X=\frac{S}{50000}=\frac{650000}{50000}=13.$$

Нулевые выигрыши не меняют числитель, но соответствующие билеты учитываются в знаменателе. Полученное число — средний выигрыш на билет, хотя приза такой величины в лотерее нет.

Ответ: $13$ руб.