Наименьшее расстояние от лампочки до собирающей линзы

Математика4ЕГЭ курсы → | 4ЕГЭ ИИ →

Как выбрать положение лампочки, чтобы получить чёткое изображение при ограниченном перемещении экрана? Разберём формулу тонкой линзы и найдём минимум без производной.

Задание №10 профильного ЕГЭ по математике.

Исходная задача

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $30$ до $50$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $150$ до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$ . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Справочник

Формула тонкой линзы

Для действительного изображения на экране расстояния до предмета и изображения связаны соотношением:

$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}.$

Здесь $f$ — фокусное расстояние, $d_1$ — расстояние от линзы до предмета, $d_2$ — расстояние от линзы до экрана. Все расстояния нужно выражать в одинаковых единицах.

Как найти наименьшее расстояние

Выразим расстояние до предмета через расстояние до экрана:

$d_1=\frac{fd_2}{d_2-f}=f+\frac{f^2}{d_2-f}.$

При $d_2>f$ с увеличением $d_2$ знаменатель дроби растёт, а значение $d_1$ уменьшается. Значит, минимальное расстояние до предмета соответствует максимальному расстоянию до экрана.

Важно: полученное значение нужно проверить по допустимому диапазону $d_1$ .

Решение

1. Выразим расстояние до лампочки

Подставим фокусное расстояние в условие чёткости изображения:

$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}=\frac{d_2-30}{30d_2}.$

Следовательно,

$d_1=\frac{30d_2}{d_2-30}=30+\frac{900}{d_2-30}.$

Во всём допустимом диапазоне $150\le d_2\le180$ знаменатель положителен. Чем дальше экран от линзы, тем меньше требуемое расстояние до лампочки.

2. Найдём минимум и проверим ограничения

Берём максимально допустимое расстояние до экрана: $d_2=180$ см. Тогда

$d_{1\min}=30+\frac{900}{180-30}=30+6=36\text{ см}.$

Значение допустимо: $30\le36\le50$ . Проверим условие чёткости:

$\frac{1}{36}+\frac{1}{180}=\frac{5+1}{180}=\frac{1}{30}.$

Ответ: $36$ см.

Похожие задачи

Задача 1. Линза с фокусным расстоянием $20$ см

Фокусное расстояние собирающей линзы равно $20$ см. Расстояние до лампочки можно изменять от $20$ до $35$ см, а расстояние до экрана — от $80$ до $120$ см. Чёткое изображение получается при $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$ . Найдите наименьшее допустимое расстояние до лампочки.

Краткое решение. По формуле $d_1=f+\frac{f^2}{d_2-f}$ расстояние до лампочки минимально при $d_2=120$ см:

$d_{1\min}=20+\frac{400}{120-20}=24\text{ см}.$

Проверка диапазона: $20\le24\le35$ .

Ответ: $24$ см.

Задача 2. Экран на расстоянии до $90$ см

Собирающая линза имеет фокусное расстояние $15$ см. Лампочку можно разместить на расстоянии от $15$ до $30$ см от линзы, экран — на расстоянии от $45$ до $90$ см. Для чёткого изображения должно выполняться равенство $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$ . Найдите наименьшее расстояние от линзы до лампочки.

Краткое решение. Чем больше $d_2$ , тем меньше $d_1$ . Выбираем $d_2=90$ см:

$d_{1\min}=15+\frac{225}{90-15}=18\text{ см}.$

Проверка диапазона: $15\le18\le30$ .

Ответ: $18$ см.

Задача 3. Ответ с десятичной дробью

Фокусное расстояние собирающей линзы равно $24$ см. Расстояние до лампочки может изменяться от $24$ до $40$ см, а расстояние до экрана — от $96$ до $144$ см. Чёткое изображение получается при $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$ . На каком наименьшем расстоянии от линзы можно установить лампочку?

Краткое решение. Минимальное значение $d_1$ достигается при максимально допустимом $d_2=144$ см:

$d_{1\min}=24+\frac{576}{144-24}=28{,}8\text{ см}.$

Проверка диапазона: $24\le28{,}8\le40$ .

Ответ: $28{,}8$ см.