Сегодня, 18:25

Количество вещества идеального газа при изменении температуры и объёма

Исходная задача

При абсолютной температуре $T_0$ и давлении $p_0$ идеальный газ в количестве $1$ моль занимает объём $V_0$ . Сколько моль газа при температуре $2T_0$ и давлении $p_0$ занимают объём $2V_0$ ?

Справочник

Уравнение состояния идеального газа

Давление, объём, абсолютная температура и количество вещества связаны уравнением Менделеева — Клапейрона:

pV=\nu RT,\qquad \nu=\frac{pV}{RT}.

Здесь $\nu$ — количество вещества в молях, $R$ — универсальная газовая постоянная. Температуру $T$ выражают в кельвинах.

Как сравнивать два состояния

Для двух состояний идеального газа удобно использовать отношение:

\frac{\nu_2}{\nu_1}=\frac{p_2}{p_1}\cdot\frac{V_2}{V_1}\cdot\frac{T_1}{T_2}.

При неизменном давлении количество вещества пропорционально отношению объёма к абсолютной температуре. Не следует заранее считать количество вещества постоянным: это допустимо лишь при отсутствии поступления и выхода газа.

Решение

Пошаговое решение

Запишем уравнение для исходных условий, где $\nu_0=1\,\text{моль}$ : $p_0V_0=\nu_0RT_0.$
Выразим искомое количество вещества при новых условиях: $\nu=\frac{p_0\cdot 2V_0}{R\cdot 2T_0}=\frac{p_0V_0}{RT_0}.$
Из первого уравнения $\dfrac{p_0V_0}{RT_0}=\nu_0$ . Следовательно, $\nu=1\,\text{моль}$ .

Объём и абсолютная температура увеличились в одинаковое число раз. Поэтому при том же давлении количество вещества осталось прежним.

Ответ: $1$ моль.

Похожие задачи

1. Увеличение объёма

При температуре $T_0$ и давлении $p_0$ идеальный газ в количестве $2$ моль занимает объём $V_0$ . Сколько моль газа при тех же температуре и давлении занимают объём $3V_0$ ?

Краткое решение. При неизменных температуре и давлении количество вещества прямо пропорционально объёму:

\nu_2=\nu_1\frac{V_2}{V_1}=2\cdot 3=6\,\text{моль}.

Ответ: $6$ моль.

2. Повышение температуры

При температуре $T_0$ и давлении $p_0$ идеальный газ в количестве $3$ моль занимает объём $V_0$ . Сколько моль газа при температуре $3T_0$ и давлении $p_0$ занимают тот же объём $V_0$ ?

Краткое решение. При неизменных давлении и объёме количество вещества обратно пропорционально температуре:

\nu_2=\nu_1\frac{T_1}{T_2}=3\cdot\frac{1}{3}=1\,\text{моль}.

Ответ: $1$ моль.

3. Изменение всех параметров

При температуре $T_0$ и давлении $p_0$ идеальный газ в количестве $1$ моль занимает объём $V_0$ . Сколько моль газа при температуре $2T_0$ и давлении $3p_0$ занимают объём $2V_0$ ?

Краткое решение. Учтём изменение давления, объёма и температуры:

\nu_2=\nu_1\frac{p_2}{p_1}\frac{V_2}{V_1}\frac{T_1}{T_2}=1\cdot3\cdot2\cdot\frac{1}{2}=3\,\text{моль}.

Ответ: $3$ моль.