Билеты к экзамену по геометрии. 10 класс

Билет №1. Аксиомы и начальные утверждения

Замечание о понятии пространства; Замечание о неопределяемых понятиях в стереометрии; Замечание о понятии прямой; Замечание о совпадающих объектах; Аксиома о существовании плоскостей (сильный вариант); Аксиома плоскости (без единственности); Определение пересекающихся плоскостей; Аксиома пересечения плоскостей; Теорема о единственности плоскости, проходящей через три точки; Утверждение о прямой, имеющей две общие точки с плоскостью; Теорема о задании прямой двумя точками; Утверждение о существовании точек вне плоскости; Определение прямой, пересекающей плоскость; Утверждение о существовании прямой, пересекающей плоскость; Утверждение о количестве различных плоскостей; Аксиома разбиения пространства плоскостью; Определение полупространства и его границы; Аксиома расстояния.

Билет №2. Способы задания плоскости

Аксиома плоскости (без единственности); Теорема о единственности плоскости, проходящей через три точки; Теорема о задании плоскости прямой и точкой; Теорема о задании плоскости двумя пересекающимися прямыми; Определение параллельных прямых; Теорема о задании плоскости двумя параллельными прямыми.

Билет №3. Пересекающиеся и параллельные прямые

Определение пересекающихся прямых; Утверждение о количестве общих точек пересекающихся прямых; Определение параллельных прямых; Теорема о существовании прямой, параллельной данной; Теорема о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость; Признак того, что прямая лежит в плоскости, связанный с параллельными прямыми; Теорема о транзитивности параллельности прямых.

Билет №4. Скрещивающиеся прямые

Первое определение скрещивающихся прямых; Второе определение скрещивающихся прямых; Замечание о равносильности определений скрещивающихся прямых; Признак скрещивающихся прямых; Теорема о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых, параллельно другой прямой; Теорема о паре параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые.

Билет №5. Угол между прямыми

Определение сонаправленных и противоположно направленных лучей; Замечание о лучах, не являющихся ни сонаправленными, ни противонаправленными; Транзитивность сонаправленности лучей в пространстве; Определение угла между лучами в пространстве; Определение угла между прямыми в пространстве; Теорема о корректности определения угла между лучами; Определение перпендикулярных прямых в пространстве; Замечание о возможных значениях угла между прямыми в пространстве; Замечание о возможных значениях угла между лучами в пространстве.

Билет №6. Параллельность прямой и плоскости, признаки

Определение прямой, параллельной плоскости; Замечание о взаимном расположении прямой и плоскости; Первый признак параллельности прямой и плоскости; Существование параллельных прямой и плоскости; Дополнительный признак параллельности прямой и плоскости (с транзитивностью).

Билет №7. Свойства параллельности прямой и плоскости

Определение прямой, параллельной плоскости; Первое свойство параллельности прямой и плоскости; Следствие о существовании в плоскости прямой, параллельной данной; Второе свойство параллельности прямой и плоскости; Третье свойство параллельности прямой и плоскости; Четвёртое свойство параллельности прямой и плоскости; Пятое свойство параллельности прямой и плоскости.

Билет №8. Параллельность плоскостей, пять свойств

Определение параллельных плоскостей; Первое свойство параллельных плоскостей; Второе свойство параллельных плоскостей; Третье свойство параллельных плоскостей; Четвёртое свойство параллельных плоскостей. Пятое свойство параллельности плоскостей.

Билет №9. Параллельность плоскостей, признаки, пространственный аналог теоремы Фалеса

Определение параллельных плоскостей; Первый признак параллельности плоскостей; Второй признак параллельности плоскостей; Шестое свойство параллельных плоскостей; Пространственный аналог теоремы Фалеса.

Билет №10. Параллельное и центральное проектирование

Определение параллельной проекции точки на плоскость; Определение параллельного проектирования; Замечание о свойствах, которыми не обладает параллельное проектирование; Свойства параллельного проектирования; Определение центральной проекции точки на плоскость; Определение центрального проектирования.

Билет №11. Перпендикулярность прямой и плоскости, признак

Определение прямой, перпендикулярной плоскости; Утверждение о пересечении перпендикуляра и плоскости; Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о существовании перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданную точку;

Билет №12. Плоскость, перпендикулярная прямой. Плоскость перпендикуляров

Определение прямой, перпендикулярной плоскости; Теорема о существовании плоскости, перпендикулярной прямой, проходящей через заданную точку; Теорема о плоскости перпендикуляров.

Билет №13. Теорема о трёх перпендикулярах. Теорема об угловой плоскости куба

Определение ортогонального проектирования; Определение перпендикуляра, наклонной и проекции на плоскость; Теорема о трёх перпендикулярах; Замечание к теореме о трёх перпендикулярах; Теорема об угловой плоскости куба.

Билет №14. Связь параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Три теоремы

Утверждение о двух прямых, перпендикулярных плоскости; Утверждение о двух плоскостях, перпендикулярных прямой; Утверждение о прямой и плоскости, которые перпендикулярны другой прямой.

Билет №15. Расстояние от точки до плоскости

Определение расстояния между фигурами; Теорема о сравнении длин наклонной, её проекции на плоскость и перпендикуляра; Следствие о расстоянии от точки до плоскости; Замечание о перпендикуляре к проекции; Алгоритм построения перпендикуляра из точки на плоскость; Утверждение о переносе точки вдоль параллельной прямой; Утверждение о переносе точки вдоль наклонной; Утверждение о расстоянии между прямой и параллельной ей плоскостью; Утверждение о расстоянии между двумя параллельными плоскостями; Теорема о связи угла между плоскостями и расстояния от точки до плоскости.

Билет №16. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых; Теорема о существовании общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых; Теорема о расстоянии между скрещивающимися прямыми; Замечание о способах нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми через параллельные плоскости; Теорема о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми через ортогональное проектирование.

Билет №17. Формула про расстояние между двумя скрещивающимися прямыми через объём тетраэдра, объём тетраэдра и параллелепипеда

Формула для нахождения расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра; Определение объёма тетраэдра; Теорема о корректности определения объёма тетраэдра; Формула для расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра через объём; Определение объёма параллелепипеда; Теорема о корректности определения объёма параллелепипеда.

Билет №18. Угол между прямой и плоскостью

Определение угла между прямой и плоскостью; Теорема о минимальности угла между прямой и плоскостью; Утверждение о сохранении величины угла между прямой и плоскостью при параллельном переносе; Теорема о связи угла между прямой и плоскостью c расстоянием от точки до плоскости.

Билет №19. Двугранный угол. Угол между плоскостями

Определение двугранного угла; Определение выпуклого множества; Замечание о выпуклых и невыпуклых двугранных углах; Определение линейного угла двугранного угла; Замечание о линейном угле двугранного угла; Теорема о корректности определения величины двугранного угла; Определение угла между двумя плоскостями; Замечание о возможных значениях угла между плоскостями; Замечание о возможных значениях двугранного угла; Замечание о рассматриваемых двугранных углах; Теорема об угле между перпендикулярами к плоскостям; Теорема о сохранении угла между плоскостями при параллельном переносе; Теорема о связи угла между плоскостями и расстояния от точки до плоскости.

Билет №20. Перпендикулярность плоскостей

Определение перпендикулярных плоскостей; Признак перпендикулярности плоскостей; Свойство перпендикулярных плоскостей; Утверждение о прямой и плоскости, которые перпендикулярны другой плоскости; Теорема о плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла.

Билет №21. Теорема о площади ортогональной проекции

Теорема о площади ортогональной проекции; Следствие о площади проекции измеримых фигур (без доказательства); Аналог теоремы Пифагора для площадей.

Билет №22. Трёхгранный угол и его свойства

Определение многогранного угла; Определение элементов многогранного угла; Первое свойство трёхгранного угла; Второе свойство трёхгранного угла; Теорема о необходимых и достаточных условиях существования трёхгранного угла (без доказательства).

Билет №23. Теоремы косинусов для трёхгранного угла

Определение многогранного угла; Первая теорема косинусов для трёхгранного угла (доказательство основного случая, остальные случаи - по требованию); Определение луча, сонаправленного (противоположно направленного) с полупространством; Определение полярного угла к данному трёхгранному углу; Замечание о паре полярных углов (без доказательства); Теорема о взаимосвязи величин углов трёхгранного угла и его полярного угла (идея доказательства); Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла (идея доказательства).

Билет №24. Теорема синусов для трёхгранного угла

Теорема синусов для трёхгранного угла; Теорема о трёх синусах.

Билет №25. Геометрические места точек в пространстве

Определение биссектора; Лемма о биссекторе и биссектрисе линейного угла двугранного угла; Теорема о биссекторе как ГМТ; ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей; ГМТ, равноудалённых от концов отрезка.

Билет №26. Векторное произведение

Определение правой и левой тройки векторов; Определение векторного произведения векторов; Основные свойства векторного произведения; Лемма о скалярном произведении вектора на базисный вектор; Теорема о линейности векторного произведения по каждому из сомножителей; Теорема о выражении векторного произведения через определитель.

Билет №27. Смешанное произведение векторов

Определение смешанного произведения векторов; Свойства смешанного произведения векторов; Теорема о выражении смешанного произведения векторов через определитель.

Билет №28. Формулы для скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, заданных в ортонормированном базисе

Формула для скалярного произведения в декартовых координатах; Формула для длины вектора и длины отрезка; Определение определителей; Теорема о выражении векторного произведения через определитель; Теорема о выражении смешанного произведения векторов через определитель.

Билет №29. Векторный метод в пространстве

Основные формулы векторного метода; Замечание о задании базиса в пространстве; Замечание о нахождении вектора, перпендикулярного плоскости, в случае косоугольного базиса; Векторная формула для нахождения угла между плоскостями; Векторная формула для нахождения угла между прямой и плоскостью; Векторная формула для расстояния от точки до плоскости; Векторная формула для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми; Замечание о формулах векторного метода через смешанное и векторное произведение; Формулы для объёма, площади и расстояния от точки до прямой (без доказательства).

Билет №30. Многогранники, виды многогранников. Шесть методов построения сечений

Определение многогранника; Определение призмы; Замечание об элементах призмы; Теорема о свойствах призмы; Определение параллелепипеда; Определение прямой призмы; Определение правильной призмы; Определение прямоугольного параллелепипеда; Основные свойства параллелепипеда; Определение пирамиды; Замечание об элементах пирамиды; Определение правильной пирамиды; Определение апофемы; Определение тетраэдра и n-угольной пирамиды; Определение правильного тетраэдра; Замечание о правильном тетраэдре и правильной треугольной пирамиде; Определение бимедианы тетраэдра; Теорема о бимедианах тетраэдра; Усечённая пирамида; Определение правильной усечённой пирамиды; Определение сечения многогранника; Метод следов; Метод параллельных плоскостей; Сечения параллельные ребру двугранного угла; Метод внутренних проекций; Метод внешних проекций; Сечения, параллельные прямой.