Вычисление выражения с корнем и степенями

Разберём, как упростить дробь со степенями под квадратным корнем и вычислить её значение. В конце — три похожие задачи с краткими решениями.

Исходная задача

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{36a^{21}}{a^{15}}}$ при $a=2$ .

Справочник

Что нужно знать

Деление степеней с одинаковым основанием. При делении показатели вычитаются:

$\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n},\qquad x\ne0.$

Квадратный корень из квадрата. Результат всегда неотрицателен:

$\sqrt{u^2}=|u|.$

При извлечении корня учитывайте знак выражения. Если $u\ge0$ , то $|u|=u$ ; если $u<0$ , то $|u|=-u$ .

Решение

1. Упростим дробь под корнем. При $a=2$ знаменатель не равен нулю, поэтому можно применить свойство степеней:

$\frac{36a^{21}}{a^{15}}=36a^{21-15}=36a^6.$

2. Извлечём квадратный корень. Заметим, что $36a^6=(6a^3)^2$ :

$\sqrt{36a^6}=|6a^3|=6|a^3|.$

3. Подставим значение переменной. При $a=2$ получаем:

$6\cdot|2^3|=6\cdot8=48.$

Ответ: $48$ .

Похожие задачи

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{49b^{12}}{b^6}}$ при $b=2$ .

Краткое решение. Вычтем показатели степеней и извлечём корень:

$\sqrt{\frac{49b^{12}}{b^6}}=\sqrt{49b^6}=7|b^3|.$

При $b=2$ : $7\cdot8=56$ .

Ответ: $56$ .

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{25x^{13}}{x^7}}$ при $x=3$ .

Краткое решение. Упростим подкоренное выражение:

$\sqrt{\frac{25x^{13}}{x^7}}=\sqrt{25x^6}=5|x^3|.$

При $x=3$ : $5\cdot27=135$ .

Ответ: $135$ .

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{16c^{18}}{c^{10}}}$ при $c=-2$ .

Краткое решение. После сокращения степеней получим:

$\sqrt{\frac{16c^{18}}{c^{10}}}=\sqrt{16c^8}=4|c^4|=4c^4.$

Четвёртая степень неотрицательна. При $c=-2$ : $4\cdot(-2)^4=4\cdot16=64$ .

Ответ: $64$ .