Билеты к экзамену по геометрии. 9 класс

Билет №1. Аксиомы. Признаки равенства треугольников

Аксиома об откладывании отрезка; Аксиома об откладывании угла; Аксиома о существовании прямой, проходящей через две точки; Определение треугольника; Определение равных треугольников; Первый признак равенства треугольников; Второй признак равенства треугольников; Третий признак равенства треугольников.

Билет №2. Равнобедренный треугольник. Свойства и признаки

Определение треугольника; Определение равнобедренного треугольника; Названия элементов равнобедренного треугольника; Определение медианы треугольника; Определение высоты треугольника; Определение биссектрисы угла; Определение биссектрисы треугольника; Свойства равнобедренного треугольника; Признаки равнобедренного треугольника.

Билет №3. Параллельные прямые. Свойства и признаки

Определение параллельных прямых на плоскости; Аксиома о параллельных прямых; Теорема о пересечении двух параллельных прямых третьей; Транзитивность параллельности прямых; Лемма о параллельности двух перпендикуляров к прямой; Признаки параллельности прямых; Свойства параллельных прямых.

Билет №4. Сумма углов треугольника. Неравенство треугольника

Теорема о сумме углов треугольника; Формула для внешнего угла треугольника; Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника; Следствие о сравнении длин сторон прямоугольного треугольника; Следствие о сравнении длин перпендикуляра и наклонных; Неравенство треугольника.

Билет №5. Прямоугольный треугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников; Свойство медианы прямоугольного треугольника; Признак прямоугольного треугольника, связанный с медианой; Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30 градусов; Первый признак прямоугольного треугольника с углом в 30 градусов; Второй признак прямоугольного треугольника с углом в 30 градусов.

Билет №6. Многоугольники

Определение ломаной; Виды ломаной; Определение многоугольника; Определение выпуклого и невыпуклого многоугольника; Определение диагонали многоугольника; Теорема о количестве диагоналей многоугольника; Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника; Теорема о сумме углов невыпуклого многоугольника (без доказательства); Теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Билет №7. Параллелограмм. Свойства и признаки

Определение параллелограмма; Определение высоты параллелограмма; Теорема о биссектрисе угла параллелограмма; Теорема об угле между биссектрисами параллелограмма; Свойства параллелограмма; Дополнительные свойства параллелограмма; Признаки параллелограмма.

Билет №8. Прямоугольник. Ромб. Квадрат

Определение прямоугольника; Замечание об эквивалентности определений прямоугольника; Замечание о свойствах прямоугольника; Свойство прямоугольника; Признак прямоугольника; Определение ромба; Замечание про ромб и параллелограмм; Замечание о свойствах ромба; Свойства ромба; Признаки ромба; Определение квадрата; Замечание об эквивалентности определений квадрата; Замечание о свойствах квадрата; Признак квадрата.

Билет №9. Трапеция. Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Определение трапеции; Замечание о сумме углов при боковой стороне трапеции; Определение прямоугольной трапеции; Определение равнобедренной трапеции; Свойства равнобедренной трапеции; Признаки равнобедренной трапеции; Теорема о равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

Билет №10. Средняя линия треугольника и трапеции

Определение средней линии треугольника; Свойства средней линии треугольника; Признаки средней линии треугольника; Замечание о «третьем» признаке средней линии; Определение средней линии трапеции; Свойства средней линии трапеции; Признаки средней линии трапеции; Расстояние между серединами диагоналей трапеции.

Билет №11. Параллелограмм Вариньона и его площадь

Теорема о параллелограмме Вариньона; Теорема о площади параллелограмма Вариньона.

Билет №12. Теорема Фалеса и её обобщение

Теорема Фалеса; Замечание об утверждении обратном теореме Фалеса; Обобщение теоремы Фалеса; Замечание об утверждении обратном обобщению теоремы Фалеса.

Билет №13. Формулы площадей стандартных фигур

Определение многоугольной фигуры; Определение площади многоугольной фигуры; Замечание о единицах измерения площади; Теорема о площади квадрата (без доказательства); Площадь прямоугольника; Площадь прямоугольного треугольника; Формула для площади треугольника через высоту и основание; Формула для площади параллелограмма через высоту и сторону; Формула для площади трапеции; Формула для площади ромба; Формула для площади четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.

Билет №14. Отношение площадей треугольников с равными элементами. Следствия

Теорема об отношении площадей треугольников с равными элементами; Теорема о площадях боковых треугольников в трапеции; Свойство биссектрисы треугольника.

Билет №15. Теорема Пифагора. Теорема обратная к теореме Пифагора.

Теорема Пифагора; Теорема, обратная к теореме Пифагора.

Билет №16. Формула для площади треугольника через квадраты сторон. Формула Герона

Формула для площади треугольника c иррациональными длинами сторон; Формула Герона.

Билет №17. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников

Определение подобных треугольников; Определение коэффициента подобия; Теорема об отношении периметров подобных треугольников; Теорема об отношении площадей подобных треугольников; Первый признак подобия треугольников; Второй признак подобия треугольников; Третий признак подобия треугольников. Замечание об отношении произвольных сходственных элементов подобных треугольников (без доказательства).

Билет №18. Центроид треугольника

Теорема о центроиде треугольника; Теорема о шести треугольниках, образованных медианами треугольника.

Билет №19. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Билет №20. Теорема Менелая. Теорема Чевы

Определение отношения векторов; Замечание об отношении векторов; Теоремы Менелая; Замечание о теореме Менелая; Теорема Чевы.

Билет №21. Тригонометрические функции острых углов прямоугольного треугольника

Определение тригонометрических функций для острых углов прямоугольного треугольника; Замечание о корректности определения тригонометрический функций для острых углов прямоугольного треугольника; Основные тригонометрические формулы; Замечание об основных тригонометрических формулах для неострых углов; Значения тригонометрических функций стандартных углов.

Билет №22. Тригонометрические функции. Общие определения и свойства

Общее определение синуса; Первая теорема о корректности определения синуса; Вторая теорема о корректности определения синуса; Свойства синуса; Общее определение косинуса; Корректность определения косинуса; Свойства косинуса; Общее определение тангенса; Общее определение котангенса; Свойства тангенса.

Билет №23. Формулы для площадей фигур с использованием синуса

Формула площади треугольника через синус угла; Формула площади параллелограмма через синус угла; Формула площади четырёхугольника через синус угла и диагонали; Теорема о произведении площадей треугольников, образованных диагоналями четырёхугольника; Следствие о произведениях площадей треугольников, образованных диагоналями трапеции.

Билет №24. Теорема косинусов. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

Теорема косинусов; Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Билет №25. Формулы для биссектрисы и медианы треугольника

Формула для медианы треугольника; Формула для биссектрисы треугольника.

Билет №26. Окружность. Касательные и хорды

Определение окружности; Определение касательной к окружности; Определение секущей к окружности; Теорема о взаимном расположении прямой и окружности; Определение хорды окружности; Определение диаметра окружности; Свойства хорд окружности; Теорема о характеристическом свойстве касательной к окружности; Теорема о двух касательных, проведенных к окружности из данной точки.

Билет №27. Углы в окружности

Центральный угол; Градусная мера дуги; Вписанный угол; Теорема о вписанном угле; Следствие о равных вписанных углах; Следствие о прямом вписанном угле; Пять формул об углах в окружности.

Билет №28. Пропорциональные отрезки в круге

Теорема о произведении отрезков хорд; Теорема о квадрате касательной; Теорема о произведении отрезков секущих; Определение степени точки относительно окружности; Теорема о степени точки.

Билет №29. Вписанная окружность

Теорема о биссектрисе угла, как ГМТ; Теорема об инцентре треугольника; Определение окружности вписанной в многоугольник; Теорема о существовании и единственности окружности, вписанной в треугольник; Теорема об окружности, вписанной в многоугольник; Теорема об отношении, в котором ин-центр делит биссектрису треугольника; Расстояние от вершины треугольника до точки касания стороны со вписанной окружностью.

Билет №30. Описанная окружность

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку, как ГМТ; Теорема о точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; Теорема о существовании и единственности окружности, описанной около треугольника; Теорема об окружности, описанной около многоугольника; Угол между радиусами описанной окружности, проведёнными в вершины треугольника.

Билет №31. Обобщённая теорема синусов. Формулы для радиусов

Обобщенная теорема синусов; Формула для радиуса окружности, описанной около треугольника; Формула для радиуса окружности, вписанной в многоугольник; Формулы для радиусов вписанной и описанной окружности прямоугольного треугольника.

Билет №32. Описанный четырёхугольник

Характеристическое свойство четырехугольника, описанного около окружности; Следствие о стандартных четырёхугольниках, описанных около окружности.

Билет №33. Вписанный четырёхугольник

Первое характеристическое свойство четырехугольника, вписанного в окружность; Следствие о вписанной трапеции; Следствие о вписанном параллелограмме; Второе характеристическое свойство вписанного четырёхугольника. Замечание ко второму характеристическому свойству вписанного четырёхугольника.

Билет №34. Правильные многоугольники

Определение правильного многоугольника; Теорема о центре правильного многоугольника; Следствие о вписанной и описанной окружности правильного многоугольника; Следствие о точках касания вписанной окружности и сторон правильного многоугольника; Соотношения в правильном многоугольнике; Соотношения в правильном треугольнике; Соотношения в квадрате; Соотношения в правильном шестиугольнике.

Билет №35. Углы между характерными линиями

Формула для угла, образованного биссектрисами треугольника; Формула для угла между высотами треугольника; Угол между радиусами описанной окружности, проведёнными в вершины треугольника.

Билет №36. Направленные отрезки и векторы. Равенство векторов

Определение направленного отрезка; Определение длины направленного отрезка; Определение кол-линеарных направленных отрезков; Первое определение сонаправленных направленных отрезков; Первое определение противоположно направленных направленных отрезков; Теорема о транзитивности сонаправленности направленных отрезков; Определение равных направленных отрезков; Определение отношения эквивалентности; Определение векторной величины; Определение вектора; Определение ноль-вектора; Замечание о направлении ноль-вектора; Определение коллинеарных векторов; Определение сонаправленных векторов; Определение модуля вектора; Определение равных векторов; Равенство векторов - это отношение эквивалентности; Первый признак равенства векторов; Второй признак равенства векторов; Теорема об откладывании вектора от данной точки.

Билет №37. Линейные операции с векторами

Правило треугольника; Сумма векторов; Корректность определения суммы векторов; Правило параллелограмма; Свойства сложения векторов; Правило цепочки; Определение разности векторов; Правило треугольника для разности векторов; Определение умножения вектора на число; Характеристическое свойство коллинеарных векторов; Векторный признак принадлежности трёх точек одной прямой.

Билет №38. Координаты вектора. Простейшие формулы в координатах

Определение линейной комбинации векторов; Лемма о равенстве нулю линейной комбинации векторов; Теорема о разложении вектора на составляющие; Определение базиса на плоскости; Определение прямоугольной системы координат и координат вектора; Замечание о связи координат вектора и проекций; Определение радиус-вектора; Замечание о координатах радиус-вектора; Свойства координат векторов; Связь координат вектора с координатами его начала и конца; Теорема о модуле вектора; Формула расстояния между двумя точками; Формула для радиус-вектора точки, делящей отрезок в данном отношении; Следствие о радиус-векторе середины отрезка; Координаты середины отрезка.

Билет №39. Скалярное произведение векторов. Свойства. Формула в координатах

Определение скалярного произведения векторов; Определение скалярного квадрата вектора; Теорема о равенстве нулю скалярного произведения; Формула скалярного произведения в координатах; Свойства скалярного произведения; Формулы векторного метода; Формула расстояния от точки до прямой.

Билет №40. Различные виды уравнения прямой

Векторное уравнение прямой; Вторая векторная форма уравнения прямой; Уравнение прямой по направляющему вектору и точке; Уравнение прямой по двум точкам; Уравнение прямой по нормали и точке; Общее уравнение прямой; Уравнение прямой с угловым коэффициентом; Угол наклона прямой; Теорема о коэффициенте k в угловом уравнении прямой; Теорема о перпендикулярных и параллельных прямых, заданных в угловой форме.

Билет №41. Кривые второго порядка

Каноническое уравнение окружности; Окружность Аполлония; Определение параболы; Каноническое уравнение параболы; Определение эллипса; Каноническое уравнение эллипса (без доказательства); Свойства канонического эллипса; Определение гиперболы; Каноническое уравнение гиперболы (без доказательства); Свойства канонической гиперболы.

Билет №42. Преобразования плоскости. Движения, гомотетия и подобие

Понятие преобразования плоскости; Определение движения; Общие свойства движений; Определение равных фигур; Определение параллельного переноса; Параллельный перенос - это движение; Параллельный перенос в координатах; Определение осевой симметрии; Осевая симметрия - это движение; Определение центральной симметрии; Центральная симметрия в координатах; Центральная симметрия - это движение; Определение поворота; Поворот - это движение; Определение гомотетии; Гомотетия в координатах; Свойства гомотетии (без доказательства); Определение подобия; Определение подобных фигур.