Признаки делимости: углублённая проверочная работа

Работа создана нейросетью | Создать свою бесплатно

Русский язык · 10 класс · 03.09.2026 21:15 · автор запроса: Елена Соснина

Работа создана ИИ и может содержать ошибки. Проверьте перед использованием.
  1. 1.Найдите цифру x, если число 72x5 делится одновременно на 9 и на 5.
  2. 2.Сколько существует трёхзначных натуральных чисел, которые делятся на 6, но не делятся на 9?
  3. 3.Найдите количество чисел вида 4a7b, которые делятся на 36, где a и b — цифры.
  4. 4.Сколько пар неотрицательных целых чисел (a; b) удовлетворяют условиям: 1 ≤ a ≤ 8, 0 ≤ b ≤ 5, число 2^a · 3^b делится на 72, но не делится на 216?
  5. 5.Найдите цифру x, если число 53x4 делится на 11.
  6. 6.Найдите наибольшее четырёхзначное число, которое делится одновременно на 14 и на 15.
  7. 7.Найдите остаток от деления числа 7^2025 на 9.
  8. 8.Сколько существует чисел вида 4a7b2c, которые делятся одновременно на 3 и на 11, если a, b и c — цифры?
  9. 9.Укажите все цифры x, при которых число 8x56 делится на 8.
  10. 10.Найдите наименьшее положительное число x, если x делится на 18, а x + 5 делится на 25.

Ответы

  1. 1.
    Ответ: 4
    Пояснение: Число уже оканчивается на 5, поэтому делится на 5. Сумма его цифр равна 14 + x и должна делиться на 9, откуда x = 4.
  2. 2.
    Ответ: 100
    Пояснение: Трёхзначных чисел, кратных 6, 150. Числа, кратные одновременно 6 и 9, кратны НОК(6; 9) = 18; таких чисел 50. Получаем 150 − 50 = 100.
  3. 3.
    Ответ: 2
    Пояснение: Для делимости на 36 число должно делиться на 4 и на 9. Из условия делимости на 4 b = 2 или b = 6. По сумме цифр получаем соответственно a = 5 и a = 1, поэтому подходят два числа: 4572 и 4176.
  4. 4.
    Ответ: 6
    Пояснение: Так как 72 = 2^3 · 3^2, необходимо a ≥ 3 и b ≥ 2. Чтобы число не делилось на 216 = 2^3 · 3^3, должно быть b = 2. Значения a: 3, 4, 5, 6, 7, 8 — всего 6 пар.
  5. 5.
    Ответ: 2
    Пояснение: Разность сумм цифр, стоящих на нечётных и чётных местах, равна 5 + x − 3 − 4 = x − 2. Она должна делиться на 11. Среди цифр подходит только x = 2.
  6. 6.
    Ответ: 9870
    Пояснение: Число должно делиться на НОК(14; 15) = 210. Наибольший четырёхзначный кратный 210 равен 210 · 47 = 9870.
  7. 7.
    Ответ: 1
    Пояснение: Степени 7 по модулю 9 имеют период 3: 7, 4, 1. Так как 2025 делится на 3, остаток равен остатку от деления 7^3 на 9, то есть 1.
  8. 8.
    Ответ: 6
    Пояснение: Для делимости на 3 сумма цифр 13 + a + b + c должна давать остаток 0, поэтому сумма a + b + c сравнима с 2 по модулю 3. Для делимости на 11 13 − (a + b + c) должно делиться на 11. Возможные суммы — 2, 13 и 24, но условию делимости на 3 подходит только 2. Число решений a + b + c = 2 равно 6.
  9. 9.
    Ответ: 2, 4, 6, 8
    Пояснение: Для делимости на 8 достаточно проверить последние три цифры: x56. При x = 2, 4, 6, 8 получаются числа 256, 456, 656 и 856, каждое из которых делится на 8.
  10. 10.
    Ответ: 270
    Пояснение: Пусть x = 18k. Тогда 18k + 5 делится на 25, то есть 18k сравнимо с 20 по модулю 25. Умножая на обратный к 18 остаток 7, получаем k сравнимо с 15 по модулю 25. Наименьшее k = 15, поэтому x = 18 · 15 = 270.

Создать свою проверочную бесплатно →