Вероятность, комбинаторика и статистика
Работа создана нейросетью
- 1.В классе 30 учащихся. Алгебру изучают 18 учащихся, геометрию — 14 учащихся, причём 8 учащихся изучают и алгебру, и геометрию. Случайным образом выбирают одного учащегося. Найдите вероятность того, что он изучает хотя бы один из двух предметов.
- 2.На заводе две производственные линии выпускают детали: первая — 60% всех деталей, вторая — 40%. Доля бракованных деталей среди продукции первой линии составляет 2%, а среди продукции второй линии — 5%. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что она изготовлена на второй линии.
- 3.На полке в случайном порядке расставляют 7 различных книг, среди которых 3 книги по математике. Найдите число расстановок, в которых все 3 книги по математике стоят рядом.
- 4.Стрелок делает 5 независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Найдите вероятность того, что стрелок попадёт ровно 4 раза.
- 5.В урне находятся 5 красных и 4 синих шара. Из урны случайным образом извлекают 3 шара без возвращения. Найдите вероятность того, что среди извлечённых шаров окажется не менее двух красных.
- 6.Набор данных задан значениями 2, 4, 6 и 8 с частотами соответственно 3, 5, 4 и 2. Найдите дисперсию этого набора данных, считая её средней величиной квадратов отклонений от среднего арифметического.
- 7.Дан упорядоченный ряд: 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 12, 14, 18. Медианой нижней половины считать медиану пяти первых чисел, а медианой верхней половины — медиану пяти последних чисел. Найдите межквартильный размах, равный разности третьего и первого квартилей.
- 8.В группе 5 девушек и 4 юноши. Для участия в олимпиаде случайным образом выбирают команду из 4 человек. Найдите вероятность того, что в команде окажется не менее двух девушек.
- 9.Из чисел от 1 до 10 случайным образом выбирают три различных числа. Найдите вероятность того, что сумма выбранных чисел делится на 3.
- 10.Имеются две урны. В первой находятся 3 белых и 2 чёрных шара, во второй — 2 белых и 4 чёрных шара. Урну выбирают равновероятно, затем из неё без возвращения извлекают 2 шара. Найдите вероятность того, что извлечённые шары окажутся одного цвета. Затем при условии, что шары оказались одного цвета, найдите вероятность того, что была выбрана первая урна.
Ответы
- 1.Ответ:Пояснение: Число учащихся, изучающих хотя бы один предмет, равно . Поэтому искомая вероятность равна .
- 2.Ответ:Пояснение: Вероятность выбрать бракованную деталь равна . Вероятность того, что деталь бракованная и изготовлена на второй линии, равна . По формуле условной вероятности получаем .
- 3.Ответ: 720Пояснение: Три математические книги рассматриваем как один блок. Вместе с четырьмя остальными книгами получаем 5 объектов, которые можно расставить способами. Внутри блока книги можно переставить способами. Искомое число равно .
- 4.Ответ:Пояснение: Выбрать единственный промах можно способами. Поэтому вероятность равна .
- 5.Ответ:Пояснение: Общее число способов выбрать 3 шара равно . Благоприятные исходы: 2 красных и 1 синий либо 3 красных, то есть . Вероятность равна .
- 6.Ответ:Пояснение: Объём набора равен 14, а среднее арифметическое равно . Среднее квадратов равно . Следовательно, дисперсия равна .
- 7.Ответ: 9Пояснение: Медиана пяти первых чисел равна 3, поэтому первый квартиль равен 3. Медиана пяти последних чисел равна 12, поэтому третий квартиль равен 12. Межквартильный размах равен .
- 8.Ответ:Пояснение: Всего команд можно выбрать способами. Число команд с не менее чем двумя девушками равно . Вероятность равна .
- 9.Ответ:Пояснение: По остаткам при делении на 3 числа распределяются так: 4 числа имеют остаток 1, по 3 числа — остатки 0 и 2. Сумма делится на 3, если выбраны числа с остатками 0, 1 и 2 либо все три остатка одинаковы. Число благоприятных наборов равно . Общее число наборов равно , поэтому вероятность равна .
- 10.Ответ: Вероятность одноцветных шаров: ; вероятность выбора первой урны при этом условии:Пояснение: Для первой урны вероятность извлечь шары одного цвета равна . Для второй урны она равна . Общая вероятность равна . По формуле условной вероятности вероятность выбора первой урны равна .