Векторы: определение, равенство и откладывание от точки
Работа создана нейросетью | Создать свою бесплатно
- 1.Дайте определение вектора. Запишите, чем вектор отличается от отрезка.
- 2.Рассмотрите вектор . Назовите его начало, конец и направление.
- 3.Сформулируйте определение длины вектора. Как обозначается длина вектора ?
- 4.Укажите, какие из записей обозначают векторы, а какие — длины векторов: , , , . Объясните свой ответ.
- 5.Сформулируйте признак равенства двух векторов. Когда векторы и равны?
- 6.Точки , , , расположены так, что см, а лучи и сонаправлены. Докажите, что .
- 7.На прямой отмечены точки , , , в указанном порядке. Известно, что см. Сравните векторы и . Равны ли они?
- 8.На прямой отмечены точки , , , в указанном порядке. Известно, что см. Сравните векторы и . Равны ли они?
- 9.Опишите построение вектора, равного данному вектору , с началом в точке . Используйте циркуль и линейку.
- 10.Дан вектор длиной 5 см. Постройте от точки вектор, равный . Опишите построение и укажите длину построенного вектора.
- 11.Точки имеют координаты и . Найдите координаты вектора и его длину.
- 12.Дан вектор . Найдите его длину и координаты вектора, равного ему и отложенного от точки .
- 13.Даны точки , и . Найдите координаты точки , если .
- 14.Даны точки , и . Постройте или опишите точку , для которой . Найдите координаты точки .
- 15.Даны точки , и . Найдите координаты точки , если четырёхугольник является параллелограммом, а . Объясните, почему полученная точка определяет равенство этих векторов.
Ответы
- 1.Ответ: Вектор — это направленный отрезок, имеющий начало и конец. В отличие от отрезка, вектор характеризуется не только длиной, но и направлением.Пояснение: У направленного отрезка указывают начало и конец, поэтому он имеет направление. Вектор обозначают двумя прописными буквами со стрелкой или одной строчной буквой со стрелкой.
- 2.Ответ: Начало — точка , конец — точка , направление — от точки к точке .Пояснение: В обозначении первая буква указывает начало вектора, а вторая — его конец.
- 3.Ответ: Длина вектора — это длина соответствующего направленного отрезка. Она обозначается или .Пояснение: Длина вектора равна расстоянию между его началом и концом. Поэтому .
- 4.Ответ: и — векторы; и — длины отрезков или векторов.Пояснение: Стрелка над двумя буквами или над одной строчной буквой обозначает вектор. Запись в модуле и запись двумя буквами без стрелки обозначают длину.
- 5.Ответ: Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют равные длины. Векторы и равны, если они сонаправлены и .Пояснение: Для равенства необходимо совпадение двух характеристик: направления и длины. Начала векторов при этом могут находиться в разных точках.
- 6.Ответ: По условию длины векторов равны: см. Лучи и сонаправлены. Следовательно, по признаку равенства векторов .Пояснение: Равенство длин и сонаправленность являются достаточными условиями равенства векторов.
- 7.Ответ: .Пояснение: Векторы направлены в одну сторону: — вправо и — также вправо. Их длины равны 4 см, поэтому векторы равны.
- 8.Ответ: Векторы и не равны; они противоположно направлены.Пояснение: Хотя длины векторов равны, вектор направлен вправо, а — влево. Поэтому условие равенства векторов не выполняется.
- 9.Ответ: Через точку проводят прямую, параллельную , и на ней выбирают луч нужного направления. На этом луче откладывают от точки отрезок длиной . Конец полученного отрезка обозначают . Тогда .Пояснение: Построенный вектор имеет ту же длину и то же направление, что и исходный. Значит, по определению он равен .
- 10.Ответ: Через проводят луч, сонаправленный с , и откладывают на нём от точки отрезок длиной 5 см. Если его конец — точка , то . Длина построенного вектора равна 5 см.Пояснение: При откладывании от точки сохраняются длина и направление исходного вектора, поэтому полученный вектор равен .
- 11.Ответ: , .Пояснение: Координаты вектора равны разностям координат конца и начала: . Длина равна .
- 12.Ответ: . Если , то .Пояснение: Длина вектора равна . Для точки получаем .
- 13.Ответ: .Пояснение: Сначала найдём . Так как , координаты точки равны .
- 14.Ответ: .Пояснение: . Откладываем этот вектор от точки : .
- 15.Ответ: . Векторы и имеют одинаковые координаты , поэтому они равны.Пояснение: . Так как , получаем . Следовательно, векторы сонаправлены и имеют равные длины.