Проверочная работа по теме «Понятие вектора»
Работа создана нейросетью | Создать свою бесплатно
- 1.Вычислите координаты вектора и разложите его по векторам и . Даны точки и . Найдите координаты вектора и представьте его в виде .
- 2.Найдите значение параметра и координаты неизвестного вектора. Известно, что , и . Найдите .
- 3.Найдите длину вектора и определите, является ли он единичным. Дан вектор .
- 4.Определите, коллинеарны ли данные векторы. Даны векторы и . Если векторы коллинеарны, установите коэффициент из равенства .
- 5.Найдите координаты точки и длину указанного вектора. Точка — середина отрезка , где и . Найдите координаты точки и длину вектора .
- 6.Восстановите координаты четвёртой вершины параллелограмма. Три вершины параллелограмма имеют координаты , и , причём вершины , , расположены последовательно. Найдите координаты вершины .
- 7.Выполните действия над векторами. Даны , и . Найдите вектор и его длину.
- 8.Докажите с помощью координат, что треугольник является равнобедренным. Даны точки , и . Установите, является ли треугольник равнобедренным, и укажите его основание.
- 9.Найдите координаты точки по условию на векторы. Даны точки и . Точка такова, что . Найдите координаты точки .
- 10.Найдите параметр, при котором два вектора перпендикулярны. Даны векторы и . Найдите все значения , при которых векторы перпендикулярны.
- 11.Разложите вектор по двум неколлинеарным векторам. Даны , и . Представьте в виде .
- 12.Исследуйте взаимное расположение точек с помощью векторов. Даны точки , и . Определите, лежат ли они на одной прямой, и найдите отношение .
- 13.Найдите координаты конца вектора по его началу и условию на длину. Вектор имеет начало в точке и координаты . Известно, что его длина равна . Найдите все возможные значения и соответствующие координаты точки .
- 14.Решите задачу на координаты и векторы. Точка при параллельном переносе переходит в точку . В какую точку перейдёт при этом же переносе?
- 15.Решите задачу, составив векторное равенство. Из одной точки одновременно вышли два туриста. Первый прошёл км на восток, а затем км на север. Второй прошёл км по прямой в направлении, совпадающем с результирующим перемещением первого туриста. Найдите расстояние между туристами после этого движения.
Ответы
- 1.Ответ: .Пояснение: Координаты вектора находятся вычитанием координат начала из координат конца: . Поэтому .
- 2.Ответ: .Пояснение: Из первой координаты равенства следует , поэтому . Однако по второй координате должно выполняться , откуда . Получены разные значения, значит, указанного параметра не существует.
- 3.Ответ: ; вектор не является единичным.Пояснение: Длина вектора вычисляется по формуле . Получаем . Единичным является вектор длины .
- 4.Ответ: Векторы коллинеарны, .Пояснение: Отношения соответствующих координат равны: . Следовательно, векторы коллинеарны, а коэффициент пропорциональности равен .
- 5.Ответ: , .Пояснение: Координаты середины: . Тогда , а его длина равна .
- 6.Ответ: .Пояснение: В параллелограмме . Поэтому , а .
- 7.Ответ: , длина равна .Пояснение: , . Суммируя с , получаем . Поэтому длина равна .
- 8.Ответ: Треугольник равнобедренный: , основание — .Пояснение: Вычислим длины: , поэтому . Далее, , поэтому , а , поэтому . Все стороны различны, поэтому треугольник не является равнобедренным.
- 9.Ответ: .Пояснение: , поэтому . Прибавляя этот вектор к координатам точки , получаем .
- 10.Ответ: .Пояснение: Для перпендикулярных векторов сумма произведений соответствующих координат равна нулю: . Отсюда , поэтому .
- 11.Ответ: .Пояснение: Составим систему: и . Из первого уравнения . Подстановка во второе даёт , откуда , .
- 12.Ответ: Точки лежат на одной прямой; .Пояснение: , а . Векторы равны, следовательно, точки лежат на одной прямой, причём отрезки и равны. Поэтому .
- 13.Ответ: или ; или .Пояснение: Из условия длины получаем , значит и . Координаты точки находятся по формуле . Поэтому при получаем , а при — .
- 14.Ответ: .Пояснение: Вектор переноса равен . Прибавляем его к координатам точки : .
- 15.Ответ: Расстояние между туристами равно км.Пояснение: Перемещение первого туриста задаётся вектором , его длина равна км. Второй турист прошёл км в направлении этого же вектора, поэтому его перемещение совпадает с перемещением первого. Туристы окажутся в одной точке.