Общий порядок решения

1. Перенести всё в одну часть: .

2. Упростить выражение: раскрыть скобки, привести подобные.

3. Попробовать разложить на множители.

4. Решить каждое простое уравнение отдельно.

5. Записать все найденные корни.

Основные приёмы

1. Разложение на множители. Если уравнение записано как произведение, то

2. Группировка. Часто используют в уравнениях 3-й и 4-й степени:

3. Вынесение общего множителя. Если есть одинаковая скобка:

4. Формулы сокращённого умножения. Полезно узнавать:

5. Разность квадратов. Часто встречается в уравнениях вида «квадрат = квадрат»:

6. Квадратное уравнение. Если получилось , решают через дискриминант:

Если , действительных корней нет.

7. Биквадратное уравнение. Вид . Делают замену :

8. Замена переменной. Если одно и то же выражение повторяется несколько раз, например , можно ввести новую букву:

Решить уравнение относительно , потом вернуться к .

9. Дробные уравнения. Сначала находят ОДЗ — значения, при которых знаменатель не равен 0. Потом умножают обе части на общий знаменатель и решают как обычное уравнение. В ответ включают только те корни, которые подходят по ОДЗ.

10. Уравнения с модулем. Раскрывают модуль по определению или разбивают числовую ось на промежутки.

Полезные советы

— Сначала ищи общий множитель или готовую скобку вроде , .

— Если видишь , почти наверняка это .

— Если уравнение чётной степени, подумай о разности квадратов или замене .

— Если после разложения получилось несколько множителей, не забывай решить каждый.

— Если один множитель уже равен 0, не теряй его корни при дальнейших преобразованиях.

— После решения полезно подставить корни в исходное уравнение, особенно в дробных и сложных.

— В ответ записывай все корни. Если их несколько, обычно пишут через точку с запятой.

Частые ошибки

— Делят на выражение с и теряют корни.

— Путают и .

— Забывают, что из следуют два случая.

— В дробных уравнениях не проверяют ОДЗ.

Главная идея №20: упростить уравнение, разложить на множители или свести к квадратному, а затем решить несколько простых уравнений.