Задачи по теории вероятностей на ЕГЭ профильного уровня

1. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе Максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.

2. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата — Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.

3. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

4. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Н. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Н. играют две шахматные партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

5. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

6. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

7. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

8. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

9. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

10. У Берты есть два игральных кубика. Первый из них обычный, а на гранях второго кубика числа 2 и 4 встречаются по три раза. В остальном кубики одинаковые. Берта наудачу выбрала один из двух кубиков и бросила его два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 2 и 4 очка. Какова вероятность того, что она бросила второй кубик?

11. На рисунке показано дерево некоторого случайного эксперимента. Событию A благоприятствуют элементарные события w, x и y, событию B благоприятствуют элементарные события x, y и z. Найдите P (A | B) — условную вероятность события A при условии B.


12. В коробочке лежит 21 скрепка: 5 белых, 9 жёлтых, остальные — синие. Яша достаёт случайным образом две скрепки. Какова вероятность того, что обе они синие?

13. Мария бросает симметричную монету 113 раз. Во сколько раз вероятность события <орёл выпадет ровно 110 раз» меньше вероятности события <орёл выпадет ровно 109 раз»?

14. Турнир по бадминтону, олимпийская система в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок не участвует в туре. Проигравший в каждой паре выбывает из турнира. Всего 80 участников, в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков — Леонид и Матвей. Определите вероятность того, что в каком-то туре им придётся сыграть друг с другом.

15. В турнире участвуют 180 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из турнира, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых двадцати трёх играх победила команда
<Самокат>. Какова вероятность того, что эта команда выиграет двадцать четвёртый раунд?

16. В таблице показано распределение случайной величины. Найдите EX — математическое ожидание этой случайной величины.


17. Боря подбрасывает монету до тех пор, пока орёл не выпадет два раза подряд. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных Борей.

18. Про случайную величину X известно, что EX = 4 и DX = 10. Найдите оценку вероятности события «X ≤ 1 или X ≥ 9», которую даёт неравенство Чебышёва.