Коэффициент подобия в объёмных телах

Разберём задание ЕГЭ №3 — одну из самых простых и одновременно пугающих тем: изменение объёмов при изменении размеров тела. Эти задачи решаются устно, если знать один секрет.

В ЕГЭ часто встречаются задачи типа: «Во сколько раз увеличится объём конуса (или шара/куба), если его радиус увеличить в 3 раза?».

Правило подобия:

Если все линейные размеры тела (длина, ширина, высота, радиус) изменить в k раз, то:

1. Длины (периметр, любая сторона) изменятся в k раз.
2. Площади (поверхности, основания) изменятся в k² (в квадрате) раз.
3. Объёмы изменятся в k³ (в кубе) раз.

Как запомнить?

Вспомни, в каких единицах измеряются величины:

• Длина — в метрах (степень 1) - коэффициент k.
• Площадь — в квадратных метрах (степень 2) - коэффициент k во 2-й степени k².
• Объём — в кубических метрах (степень 3) - коэффициент k в 3-й степени k³.

Алгоритм действий на ЕГЭ:

Ситуация А: Дано изменение размеров, найти изменение объёма.

• Задача: Радиус шара увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличился объём?
• Решение: Коэффициент k=4. Объём меняется в k³ раз. 4*4*4=64.
• Ответ: в 64 раза.

Ситуация Б: Дано изменение объёма, найти изменение высоты/радиуса.

• Задача: Объём бака увеличился в 27 раз. Во сколько раз выросла его высота?
• Решение: k³=27. Какое число в кубе дает 27? Это 3 (3*3*3=27).
• Ответ: в 3 раза.

Ловушка «Одной переменной»

Будь внимателен! Если в цилиндре увеличили только высоту, а радиус не трогали — объём увеличится просто в k раз (как высота). Правило k³ работает только тогда, когда меняются все размеры (тело увеличивается пропорционально).

Совет для ЕГЭ: Если в задаче просят найти, во сколько раз площадь поверхности шара больше площади другого, ищи коэффициент подобия k и возводи его в квадрат.

Источник: Курсы Лазуркина