Основные ошибки при выполнении заданий 13-19

Средние результаты выполнения заданий с развернутым ответом


* Статистика из одного региона РФ.


Задание 13 повышенного уровня сложности, проверяет умение решать уравнения. Несколько последних лет в этом задании предлагается тригонометрическое уравнение и отбор его корней на промежутке, но следует обратить внимание на то, что согласно спецификации КИМ ЕГЭ в данном задании могут быть предложены и другие типы уравнений и неравенств. Несмотря на то, что задание достаточно традиционно, процент его выполнения всего 23%, а один балл получили лишь 5,95% школьников. Что свидетельствует о том, что только четверть школьников решают тригонометрические уравнения и умеют правильно отбирать его корни на заданном промежутке, тогда как почти 6% не умеют осуществлять такой отбор. Основные ошибки допускаются при нахождении корней простейших тригонометрических уравнений, а также вызывают затруднения формулы тригонометрии. При использовании формул приведения неправильно определяется знак правой части. Учащиеся не знают свойство четности тригонометрических функций. При отборе корней выпускники применяют различные способы, но при отборе корней с использованием числовой окружности не выделяют нужную дугу заданного промежутка, это приводит к ошибочному отбору корней.


Задание 14 относится к заданиям повышенного уровня, предлагается стереометрическая задача. В этом году именно эта задача вызвала наибольшие трудности у выпускников. С ней справились лишь 0,53% школьников. В заданиях, где требовалось построить сечение, проблем, в основном, не было. Но доказательство перпендикулярности прямой и плоскости вызвало затруднения. Вероятно, учащиеся плохо владеют теоретическими фактами, в частности не знают признак перпендикулярности прямой и плоскости. Некоторые выпускники при доказательстве применяют метод координат, но допускают ошибки в определении координат точек или при нерациональном введении системы координат в пространстве. В других вариантах требовалось найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Это задача повышенной трудности, и с ней учащиеся не справились. Следует отметить, что данное задание оценивается всего в два балла, но содержательно сложнее любых других двухбалльных заданий.


С заданием 15 смогли справиться лишь 5% учащихся, приступавших к выполнению этого задания. Задание представлено неравенством (логарифмическое и показательное в разных вариантах). При решении показательных неравенств большая часть школьников используют замену переменной и приходят к дробно-рациональному неравенству. Однако, получив многочлен третьей степени в числителе, не смогли разложить его на множители. Допускают ошибки при сокращении дроби на выражение с переменной, теряют промежуток при использовании метода интервалов, что приводит к неверному решению неравенства. При решении логарифмического неравенства с переменной в основании учащиеся не рассматривают два случая. Некоторые выпускники успешно использовали при решении этого неравенства метод рационализации, который приводит к быстрому и красивому решению.


Задание 16 - планиметрическая задача. Представленная задача учащимися решалась мало, только 0,4% смогли ее завершить и получить баллы. Выпускники в основном не выполнили дополнительные построения (например, построить описанную окружность), допускали ошибки в построении тех элементов, которые были заданы в задаче. По-прежнему наблюдается неточное построение чертежа, что не даёт возможности увидеть ход решения; вычислительные и логические ошибки. Вообще нужно отметить, что предлагаемые задачи допускали решение разными способами, но учащиеся не смогли ими воспользоваться. Это лишний раз подтверждает, что школьники не владеют теоретическим аппаратом геометрии, способами решения задач, не умеют доказывать утверждения. Умение доказывать формируется постепенно не только в процессе решения задач, но и при доказательстве теорем, это одна из самых важных составляющих геометрии. Поэтому учителю нельзя игнорировать из-за нехватки времени представление доказательства на уроках самому и опрос учащихся по доказательству теорем; требовать от учащихся пояснений и доказательств утверждений при решении задач, обоснованных устных ответов, обучать доказательству.


Задание 17 - экономическая задача, введенная в ЕГЭ только в прошлом году. В этом году она была более проста по сравнению с прошлым годом. К выполнению этой задачи приступали многие учащиеся и 12% получили баллы от 1 до 3. При этом отметим основные ошибки. Поскольку задача текстовая, содержащая в себе несколько условий, которые необходимо учесть, то многие учащиеся не смогли совместить все условия вместе или неверно поняли условие, в результате чего неправильно построили модель к задаче. По сравнению с задачей прошлого года, задание не имеет сложных вычислений, тем не менее, вычислительные ошибки тоже наблюдались. Некоторые школьники пользовались при построении модели лишь своими предположениями, не обосновывая их.


Задание 18 представлено уравнением с параметром в одних вариантах и системой уравнений в других, относится к высокому уровню сложности. Между тем, 0,4% выпускников этого года справились с предложенным заданием, получив максимальный балл. Отметим, что задача с системой уравнений оказалась более сложной, ее решение до конца практически никто не довел. Легче в выполнении оказалось иррациональное уравнение. Учащиеся применяли метод введения новой переменной, но забывали о необходимости наложения ограничений на введенную переменную, что приводило к ошибкам в ответе. Никто из выпускников не применял метод геометрической интерпретации, который являлся эффективным при решении подобного задания. Очевидно, что это задание по силам многим выпускникам математических классов, имеющим достаточный опыт решения задач с параметрами.


Задание 19 носит олимпиадный характер. Составлено таким образом, что, с одной стороны, тематически оно вполне было доступно даже ученикам основной школы, а с другой стороны, для его решения требовалась не столько формальная математическая образованность (знание терминов, формул, правил, готовых алгоритмов), сколько общая математическая культура, т.е. сформированная привычка самостоятельно ориентироваться в математической ситуации, строить и исследовать математические модели. Для выполнения этого задания определенных алгоритмов не существует, все рассуждения должны быть обоснованными, а приводимые примеры убедительными и удовлетворяющими всем условиям задачи. Однако в большинстве работ встречались только ответы, неполные обоснования доказываемых утверждений. Пункт «а» задания доступен для выполнения многими, привести пример согласно предлагаемому условию и получить один балл в этом году смогли получить 34% учащихся. Основной ошибкой стало приведение произвольных наборов «троек», а не последовательных, как требовалось в условии. Также отмечены вычислительные ошибки. Подготовка к выполнению задания 19 должна быть индивидуальной для одаренных учащихся профильных физико-математических классов, должна осуществляться на протяжении изучения всего курса математики в школе. Необходимо постоянное развитие мыслительных операций такого ученика: решение задач повышенной сложности и участие в олимпиадах, решение нестандартных задач, головоломок; поддержание интереса и мотивации, развитие логического мышления, умения доказывать и рассуждать, накопление различных способов и приемов, математического инструментария.