Задача №13 с реального ЕГЭ-2017 → №13 профильного ЕГЭ

а) Решите уравнение \(8 \cdot {16^{\cos x}} - 6 \cdot {4^{\cos x}} + 1 = 0\)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right]\).



Решение

а) Пусть \({4^{\cos x}} = t > 0.\)

\(8 \cdot {t^2} - 6 \cdot t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{1}{2},}\\{t = \frac{1}{4}.}\end{array}} \right.\)

Возвращаясь к переменной x, получим:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = - \frac{1}{2},}\\{\cos x = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi n,}\\{x = \pi + 2\pi n,}\end{array}} \right.n \in \mathbb{Z}.\)


б) Отбор несложно осуществить с помощью тригонометрического круга, поскольку длина отрезка не превышает 2π:

\(\frac{{8\pi }}{3},\;\;3\pi \)


Ответ:
а) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi n,}\\{x = \pi + 2\pi n,}\end{array}} \right.n \in \mathbb{Z};\)

б) \(\frac{{8\pi }}{3},\;\;3\pi \)