Задача по планиметрии

Разбор одной нестандартной задачи по планиметрии.

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC = 1:2$.
а) Докажите, что $\angle BAC = 30^\circ$.
б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ – в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC = \sqrt {21}$.


Решение

а) По свойству медианы, проведенной к гипотенузе, имеем $CM = AM$, откуда $\angle ACM = \angle MAC$ и треугольники $CMK$ и $ACB$ подобны. Из подобия следует

$\frac{{CM}}{{AC}} = \frac{{KC}}{{AB}}.$

По условию $AC = \frac{3}{2}KC$, а $CM = \frac{1}{2}AB$. Получим

$\frac{{\frac{1}{2}AB}}{{\frac{3}{2}KC}} = \frac{{KC}}{{AB}},$

$KC = \frac{{AB}}{{\sqrt 3 }},\;\;AC = AB\frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Получается, что в прямоугольном треугольнике ABC $\cos \angle BAC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$, значит $\angle BAC = 30^\circ$.


б) Заметим, что треугольники $ABC$ и $PKC$ подобны. Произведем вычисления:

$AC = BC\sqrt 3 = 3\sqrt 7 ,\;\;AK = \frac{1}{3}AC = \sqrt 7 ,\;\;KB = \sqrt {K{C^2} + B{C^2}} = 7,$

$CP = KC\sqrt 3 = 2\sqrt {21} ,\;\;AP = \sqrt {A{C^2} + P{C^2}} = 7\sqrt 3 .$

Обозначим $\angle BKC = \alpha$, $\angle CAP = \beta$.

$\sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{7} = \cos \beta ,\;\;\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} = \sin \beta .$

$\angle Q = \pi - \alpha - \left( {\pi - \beta } \right) = \beta - \alpha .$

$\sin \angle Q = \sin \left( {\beta - \alpha } \right) = \sin \beta \cos \alpha - \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{7}.$

По теореме синусов:

$\frac{{AK}}{{\sin \angle Q}} = \frac{{KQ}}{{\sin \left( {\pi - \beta } \right)}},\;\;KQ = \frac{{\sin \beta }}{{\sin \angle Q}}AK = 14.$


Ответ:
а) что и требовалось доказать;
б) 14.