Задача с досрочного ЕГЭ

1) Решить \({8^x} - 9 \cdot {2^{x + 1}} + {2^{5 - x}} = 0.\)

2) Найти корни, принадлежащие промежутку \(\left[ {{{\log }_5}2;{{\log }_5}20} \right]\)


Решение

\({2^{3x}} - 18 \cdot {2^x} + 32 \cdot {2^{ - x}} = 0.\)

Замена \({2^x} = t > 0.\) Умножим обе части на t:

\({t^4} - 18{t^2} + 32 = 0,\;\;t_1^2 = 2,\;\;t_2^2 = 16.\)

Возвращаемся к старой переменной

\({2^x} = \sqrt 2 = {2^{1/2}},\;\;x = \frac{1}{2};\)
\({2^x} = 4 = {2^2},\;\;x = 2.\)

Отбор корней:

\({\log _5}2 = {\log _5}\sqrt 4 < \frac{1}{2} = {\log _5}\sqrt 5 < {\log _5}20 < {\log _5}25 = 2.\)

Ответ:
1) 1/2, 2;
2) 1/2.