0
11 марта 2017
В закладки
Обсудить

Задача 28

Задача
MAXIMUM Education → Pеклaмa
Онлайн-курсы для учеников 5–11 классов: ОГЭ, ЕГЭ, школьные предметы и профориентация.
Найти все значения параметра а, при которых неравенство

\(\cos x - 2\sqrt {{x^2} + 9} \le - \frac{{{x^2} + 9}}{{a + \cos x}} - a\)

имеет единственное решение.


Решение

Преобразовав, запишем неравенство в виде

\(\frac{{{{\left| {\left( {a + \cos x} \right) - \sqrt {{x^2} + 9} } \right|}^2}}}{{a + \cos x}} \le 0\)

Его решениями будут решения уравнения \(a + \cos x = \sqrt {{x^2} + 9} \) и неравенства \(a + \cos x < 0\). Неравенство не может иметь единственного решения ни при каком значении а. Следовательно, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы неравенство \(a + \cos x < 0\) не имело решений, а это будет выполнено, если \(a \ge 1\).

Теперь необходимо, чтобы уравнение \(a + \cos x = \sqrt {{x^2} + 9} \) имело ровно одно решение. Заметим, что если \({x_0}\) – решение уравнение, то и \( - {x_0}\) является решением. Стало быть, для того чтобы решение было единственно, необходимо, чтобы \(x = 0\) было решением. А это выполнено при \(a = 2\). Тогда уравнение выглядит так: \(2 + \cos x = \sqrt {{x^2} + 9} \). Его левая часть не превосходит числа 3, а правая – не меньше 3. Следовательно, \(x = 0\) – единственное решение уравнения. Вспоминая, что при \(a = 2\) неравенство \(a + \cos x < 0\) не имеет решений, получаем ответ.

Ответ: 2.
    • smileblushsmirkconfusedhushedpensivecry
      angrysunglasses