Задача 26

Ваня выписал на доске подряд все натуральные числа от 2 до 2015. Пришла Маша и заменила каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришёл Миша и сделал то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось 2014 однозначных чисел (цифр). Какова сумма оставшихся чисел?


Решение

Натуральное число и сумма цифр его десятичной записи при делении на 9 дают одинаковые остатки, поэтому в итоге на доске останется ряд из 2014 цифр, имеющих те же остатки от деления на 9, что и исходные числа, т.е. это будут цифры 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, ... Так как 2014=9∙223+7, искомая сумма равна

\(\left( {2 + \ldots + 9 + 1} \right) \cdot 223 + 2 + \ldots + 8 = 45 \cdot 223 + 35 = 10070.\)

Ответ: 10070.