Задача 25

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} - {a^2} \le 6x - 4y - 13,}\\{{x^2} + {y^2} - 4{a^2} \le 8y - 10x + 4a - 40}\end{array}} \right.\)

имеет ровно одно решение.


Решение

Запишем систему в виде

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} \le {a^2},}\\{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2} \le {{\left( {2a + 1} \right)}^2}.}\end{array}} \right.\)

Первое неравенство системы задает круг с центром в точке А(3;–2) радиуса |a|. Второе неравенство задает круг с центром в точке В(–5;4) радиуса |2a + 1|. Границы кругов включаются; при а = 0 и а = 1/2 один из кругов вырождается в точку.

Система неравенств имеет единственное решение, когда круги касаются внешним образом, то есть, когда сумма радиусов равна расстоянию между центрами \(AB = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 10\). Получаем уравнение \(\left| a \right| + \left| {2a + 1} \right| = 10\), решая которое, находим, что \(a = - 11/3\) или \(a = 3\).

Ответ: \(a = - 11/3\) или \(a = 3\).