Задача 22 → №19 профильного ЕГЭ

Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток [0; 60).

а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трех суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?


Решение

а) Пусть стрелка, начав движение в точке 15, движется на 1/2 мин вперед и на 1/2 мин назад (возвратившись в точку 15), затем на 1/4 мин вперед и на 1/4 мин назад, затем на 1/8 мин вперед и на 1/8 мин назад, и т.д. Тогда в результате этих колебаний она побывает бесконечно много раз в точке 15 в течение

\(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{8}} \right) + \ldots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots = 2\)

После этого, перейдя за полчаса из точки 15 в точку 45 и проделав в ней в течение 2 мин аналогичные колебания, она всего за 34 мин выполнит поставленную перед ней задачу.

б) С одной стороны, за трое суток стрелка, двигаясь в одном направлении, может сделать 3 • 24 = 72 оборота, показав каждое из чисел ровно по 72 раза. С другой стороны, если бы при некотором движении стрелки самое редкое показание встретилось 73 раза, то остальные показания – также не меньше 73 раз, а тогда полная угловая длина пути стрелки за эти трое суток была бы не меньше 73 оборотов, что невозможно.

Ответ: а) да; б) 72.



Источник задачи: олимпиада "Ломоносов", 2009 год, задача №8.
Просмотров: 1822 | 5 марта 2017
Математика ← Задание 12
В сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, уровень раствора достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень раствора, если перелить содержимое первого сосуда во второй сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, площадь основания которого в 9 раз больше площади основания первого? Ответ выразите в сантиметрах.



Математика ← Тренировка
Найдите 19 % от суммы трёх чисел 126, 97 и 77



До ЕГЭ 2019 осталось | Заставка

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2019. «4ЕГЭ»