Задача 21

Решить неравенство

${\log _3}{\log _{0,2}}{\log _{32}}\frac{{x - 1}}{{x + 5}} > 0$


Решение

Из условия имеем:

${\log _{0,2}}{\log _{32}}\frac{{x - 1}}{{x - 5}} > 1,\;\;0 < {\log _{32}}\frac{{x - 1}}{{x - 5}} < 0,2,\;\;$

$1 < \frac{{x - 1}}{{x + 5}} < 2\;\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x - 1}}{{x + 5}} < 2,}\\{\frac{{x - 1}}{{x + 5}} > 1,}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x - 1}}{{x + 5}} - 2 < 0,}\\{\frac{{x - 1}}{{x + 5}} - 1 > 0,}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + 11}}{{x + 5}} > 5,}\\{\frac{{ - 6}}{{x + 5}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right.} \right.} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 11} \right)\left( {x + 5} \right) > 0,}\\{x + 5 < 0,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x < - 11.$

Ответ: $x \in \left( { - \infty ;\; - 11} \right).$