Задача 14 → №19 профильного ЕГЭ

Число 72350 написали 7 раз подряд, при этом получилось 35-значное число 72350723507235072350723507235072350. Из этого 35-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания 33-значное число делилось на 15. Сколькими способами это можно сделать?


Решение

Для того, чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Для делимости на 5 нужно, чтобы последней цифрой числа была цифра 0 или 5. Значит, полученное число будет делиться на 5, если мы вычеркнем любые две цифры, кроме двух последних. Перейдем к делимости на 3.

Если в числе заменить все цифры 7 на 1, цифры 3 на 0, а цифры 5 на 2, то остаток от деления числа на 3 не изменится (остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы цифр этого числа на 3). Таким образом, нужно узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа Х = 12020120201202012020120201202012020 так, чтобы полученное число делилось на 3.

Сумма цифр числа Х равна 35. Чтобы после вычеркивания сумма цифр делилась на 3, мы можем вычеркнуть либо а) две единицы, либо б) двойку и ноль. Количество способов вычеркнуть две единицы равно \(C_7^2 = 21\); количество способов вычеркнуть один ноль и одну двойку равно

\(C_{14}^1 \cdot C_{14}^1 = 14 \cdot 14 = 196.\)

Две последние цифры вычеркивать нельзя, поэтому получаем

196 + 21 – 1 = 216 способов.

Ответ: 216.



Источник задачи: олимпиада "Физтех", 2013 год, вопрос №4.
Просмотров: 2884 | 25 февраля 2017
Математика ← Устный счёт
Расстояние от дома учеников до школы 700м. Если шаг старшего брата на 20см больше шага младшего братишки, то он до школы делает на 400 шагов меньше братишки. Сколько шагов делает братишка до школы?



Математика ← Экономика
Вы продаёте лимонад. Затраты на производство и реализацию 1 стакана лимонада составляет 30 коп. По цене 60 коп. можно реализовать 130 стаканов в день, а по цене 50 коп. – 200 стаканов. Какую цену вы должны назначить, чтобы получить больше прибыли?



До ЕГЭ 2020 осталось

Если нашли ошибку в тексте, выделите
её и нажмите Ctrl+Enter.
© 2008-2020. «4ЕГЭ»