25 февраля 2017
В закладки
Обсудить
Задача 14
Число 72350 написали 7 раз подряд, при этом получилось 35-значное число 72350723507235072350723507235072350. Из этого 35-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания 33-значное число делилось на 15. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Для того, чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Для делимости на 5 нужно, чтобы последней цифрой числа была цифра 0 или 5. Значит, полученное число будет делиться на 5, если мы вычеркнем любые две цифры, кроме двух последних. Перейдем к делимости на 3.
Если в числе заменить все цифры 7 на 1, цифры 3 на 0, а цифры 5 на 2, то остаток от деления числа на 3 не изменится (остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы цифр этого числа на 3). Таким образом, нужно узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа Х = 12020120201202012020120201202012020 так, чтобы полученное число делилось на 3.
Сумма цифр числа Х равна 35. Чтобы после вычеркивания сумма цифр делилась на 3, мы можем вычеркнуть либо а) две единицы, либо б) двойку и ноль. Количество способов вычеркнуть две единицы равно \(C_7^2 = 21\); количество способов вычеркнуть один ноль и одну двойку равно
\(C_{14}^1 \cdot C_{14}^1 = 14 \cdot 14 = 196.\)
Две последние цифры вычеркивать нельзя, поэтому получаем
196 + 21 – 1 = 216 способов.
Ответ: 216.
Решение
Для того, чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Для делимости на 5 нужно, чтобы последней цифрой числа была цифра 0 или 5. Значит, полученное число будет делиться на 5, если мы вычеркнем любые две цифры, кроме двух последних. Перейдем к делимости на 3.
Если в числе заменить все цифры 7 на 1, цифры 3 на 0, а цифры 5 на 2, то остаток от деления числа на 3 не изменится (остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы цифр этого числа на 3). Таким образом, нужно узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа Х = 12020120201202012020120201202012020 так, чтобы полученное число делилось на 3.
Сумма цифр числа Х равна 35. Чтобы после вычеркивания сумма цифр делилась на 3, мы можем вычеркнуть либо а) две единицы, либо б) двойку и ноль. Количество способов вычеркнуть две единицы равно \(C_7^2 = 21\); количество способов вычеркнуть один ноль и одну двойку равно
\(C_{14}^1 \cdot C_{14}^1 = 14 \cdot 14 = 196.\)
Две последние цифры вычеркивать нельзя, поэтому получаем
196 + 21 – 1 = 216 способов.
Ответ: 216.