23 февраля 2017
В закладки
Обсудить
Задача 12
При каких значениях \(a\) существует единственное решение системы
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 4,}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2} = a?}\end{array}} \right.\)
Решение
При \(a \le 0\) второе уравнение системы задает точку (3, –4) или пустое множество, поэтому при таких а система решений не имеет.
При \(a > 0\) уравнения системы задают на координатной плоскости окружности: первая – с центром (0, 0) и радиусом 2, а вторая – с центром (3, –4) и радиусом \(\sqrt a \). Окружности имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда они касаются внешним образом или внутренним образом, т.е. когда сумма или разность их радиусов равна расстоянию 5 между их центрами:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a + 2 = 5,}\\{\sqrt a - 2 = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = {\left( {5 \pm 2} \right)^2}\)
Ответ: 9; 49.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = 4,}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2} = a?}\end{array}} \right.\)
Решение
При \(a \le 0\) второе уравнение системы задает точку (3, –4) или пустое множество, поэтому при таких а система решений не имеет.
При \(a > 0\) уравнения системы задают на координатной плоскости окружности: первая – с центром (0, 0) и радиусом 2, а вторая – с центром (3, –4) и радиусом \(\sqrt a \). Окружности имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда они касаются внешним образом или внутренним образом, т.е. когда сумма или разность их радиусов равна расстоянию 5 между их центрами:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt a + 2 = 5,}\\{\sqrt a - 2 = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = {\left( {5 \pm 2} \right)^2}\)
Ответ: 9; 49.