20 февраля 2017
В закладки
Обсудить
Задача 9
Про натуральные числа \(x\) и \(y\) и целое нечётное число \(z\) известно, что
\(x! + y! = 24z + 2017.\)
Найдите все возможные такие тройки чисел \(\left( {x,y,z} \right)\). (Напомним, что \(1! = 1\), \(2! = 1 \cdot 2\), \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\).)
Решение
Заметим, что при любом \(z\) выражение \(24z + 2017\) является нечётным числом (как сумма чётного и нечётного чисел). Если же \(x > 1\) и \(y > 1\), то выражение \(x! + y!\) является чётным числом, поскольку каждое из слагаемых будет делиться на 2. Поэтому одно из чисел x или у должно равняться единице. Пусть \(x = 1\), тогда имеем:
\(y! = 24z + 2016,\;\;z = \frac{{y!}}{{24}} - 84.\)
Поскольку \(z\) нечётное число, то и \(y!/24\) должно быть нечётным. Значит подходят всего два значения \(y\):
\({y_1} = 4,\;\;{z_1} = - 83;\;\;{y_2} = 5,\;\;{z_2} = - 79.\)
Итак, получаем две тройки: (1, 4, –83), (1, 5, –79). Для получения окончательного ответа остается рассмотреть аналогичный случай для \(y = 1\).
Ответ: (1, 4, –83), (1, 5, –79), (4, 1, –83), (4, 1, –79).
\(x! + y! = 24z + 2017.\)
Найдите все возможные такие тройки чисел \(\left( {x,y,z} \right)\). (Напомним, что \(1! = 1\), \(2! = 1 \cdot 2\), \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\).)
Решение
Заметим, что при любом \(z\) выражение \(24z + 2017\) является нечётным числом (как сумма чётного и нечётного чисел). Если же \(x > 1\) и \(y > 1\), то выражение \(x! + y!\) является чётным числом, поскольку каждое из слагаемых будет делиться на 2. Поэтому одно из чисел x или у должно равняться единице. Пусть \(x = 1\), тогда имеем:
\(y! = 24z + 2016,\;\;z = \frac{{y!}}{{24}} - 84.\)
Поскольку \(z\) нечётное число, то и \(y!/24\) должно быть нечётным. Значит подходят всего два значения \(y\):
\({y_1} = 4,\;\;{z_1} = - 83;\;\;{y_2} = 5,\;\;{z_2} = - 79.\)
Итак, получаем две тройки: (1, 4, –83), (1, 5, –79). Для получения окончательного ответа остается рассмотреть аналогичный случай для \(y = 1\).
Ответ: (1, 4, –83), (1, 5, –79), (4, 1, –83), (4, 1, –79).