15 февраля 2017
В закладки
Обсудить
Задача 4
Найдите все значения \(а\), при которых имеет единственное решение система
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x^2} + 1} \right)a = y - \cos x,}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + \left| y \right| = 1.}\end{array}} \right.\)
Решение
Система чётна относительно х. Следовательно, для единственности решения необходимо \(x\; = \;0\). Тогда \(a = y + 1\), \(y = \pm 1\), откуда \({\rm{a = 0}}\) или \({\rm{a = 2}}\).
При \({\rm{a = 0}}\) имеем:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \cos x,}\\{\left| y \right| = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + 1.}\end{array}} \right.\)
Подстановка даёт
\(\left| {\cos x} \right| = - {\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} + 1 \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = - {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.\)
Данное уравнение уже имеет бесконечное множество решений вида \(x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z}\), а значит и исходная система также будет иметь бесконечное множество решений вида \(\left( {\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z};0} \right)\).
При \({\rm{a = 2}}\) имеем два случая. Первый:
\(2{x^2} + 2 = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x - \cos x + 1.\)
Левая часть равенства не меньше 2, а правая – не больше 2, поэтому равенство достигается только при x = 0. Второй случай:
\(2{x^2} + 2 = {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x - \cos x - 1,\)
рассуждения аналогичные.
Ответ: 2.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x^2} + 1} \right)a = y - \cos x,}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + \left| y \right| = 1.}\end{array}} \right.\)
Решение
Система чётна относительно х. Следовательно, для единственности решения необходимо \(x\; = \;0\). Тогда \(a = y + 1\), \(y = \pm 1\), откуда \({\rm{a = 0}}\) или \({\rm{a = 2}}\).
При \({\rm{a = 0}}\) имеем:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \cos x,}\\{\left| y \right| = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x + 1.}\end{array}} \right.\)
Подстановка даёт
\(\left| {\cos x} \right| = - {\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} + 1 \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = - {\rm{co}}{{\rm{s}}^4}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.\)
Данное уравнение уже имеет бесконечное множество решений вида \(x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z}\), а значит и исходная система также будет иметь бесконечное множество решений вида \(\left( {\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in \mathbb{Z};0} \right)\).
При \({\rm{a = 2}}\) имеем два случая. Первый:
\(2{x^2} + 2 = - {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x - \cos x + 1.\)
Левая часть равенства не меньше 2, а правая – не больше 2, поэтому равенство достигается только при x = 0. Второй случай:
\(2{x^2} + 2 = {\rm{si}}{{\rm{n}}^4}x - \cos x - 1,\)
рассуждения аналогичные.
Ответ: 2.