Задача 1

В треугольнике ${\rm{ABC}}$ проведена биссектриса ${\rm{AM}}$. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно ${\rm{AM}}$, пересекает сторону ${\rm{AC}}$ в точке ${\rm{N}}$; ${\rm{AB = 6}}$, ${\rm{BC = 5}}$, ${\rm{AC = 9}}$.

а) Докажите, что биссектриса угла ${\rm{C}}$ делит отрезок ${\rm{MN}}$ пополам.
б) Пусть ${\rm{P}}$ – точка пересечения биссектрис треугольника ${\rm{ABC}}$. Найдите отношение ${\rm{AP : PN}}$.


Решение

а) В треугольнике ${\rm{ABC}}$ имеем:

$\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

откуда получаем, что ${\rm{BM = 2}}{\rm{, MC = 3}}$.

В треугольнике ${\rm{ABN}}$ биссектриса ${\rm{AM}}$ перпендикулярна стороне ${\rm{BN}}$, следовательно, треугольник ${\rm{ABN}}$ равнобедренный. Получаем, что ${\rm{AN = AB = 6}}$, откуда ${\rm{CN = AC - AN = 9 - 6 = 3}}$.

Следовательно, треугольник ${\rm{NCM}}$ равнобедренный, а, значит, биссектриса угла ${\rm{C}}$ является медианой треугольника ${\rm{NCM}}$ и делит отрезок ${\rm{MN}}$ пополам.


б) Прямая ${\rm{CP}}$ является серединным перпендикуляром к отрезку ${\rm{MN}}$, следовательно, ${\rm{PM = PN}}{\rm{.}}$

В треугольнике AMC имеем:

$\frac{{AP}}{{PM}} = \frac{{AC}}{{CM}} = \frac{9}{3} = 3$

откуда получаем, что ${\rm{AP : PN = AP : PM = 3:1}}{\rm{.}}$

Ответ: ${\rm{3:1}}$.