19 мая 2023
В закладки
Обсудить
Жалоба
16+
Задание 13 ЕГЭ по математике. Практика
Стереометрия. 8 заданий с подробным решением.
zadanie_13m.docx
zadanie_13m.pdf
1. Основанием прямой треугольной призмы ????1?1?1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые ??1 и ??1 перпендикулярны.
а) Докажите, что ??1=??.
б) Найдите расстояние между прямыми ??1 и ??1, если ??=7, ??=8.
2. Дана треугольная пирамида DABC. Точки M, N, P, Q лежат на рёбрах AB, BC, AD, CD, причем ??:??=??:??=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M, N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
3. SABCD – правильная пирамида. Точка M находится на ребре SD, ??:??=2:3. Точка P – середина ребра AD, а Q – середина ребра BC.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ – равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
4. Дана пирамида PABCD, в основании – трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PAD.
б) Найдите объем PKBC, если ??=??=??=3, а высота равна 8.
5. Основанием прямой треугольной призмы ????1?1?1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней ??1?1? и ??1?1? равны 15 и 9 соответственно, ??=13.
а) Докажите, что треугольник ??1?1 – прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды ??1?1?.
6. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
7. Основанием прямой треугольной призмы ????1?1?1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ???1?1 является квадратом.
а) Докажите, что прямые ??1 и ??1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми ??1 и ??1, если ??=4, ??=7.
8. В треугольной пирамиде SABC известны боковые ребра ??=??=13, ??=3√17. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объем пирамиды SABC.
zadanie_13m.docx
zadanie_13m.pdf
1. Основанием прямой треугольной призмы ????1?1?1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые ??1 и ??1 перпендикулярны.
а) Докажите, что ??1=??.
б) Найдите расстояние между прямыми ??1 и ??1, если ??=7, ??=8.
2. Дана треугольная пирамида DABC. Точки M, N, P, Q лежат на рёбрах AB, BC, AD, CD, причем ??:??=??:??=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M, N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
3. SABCD – правильная пирамида. Точка M находится на ребре SD, ??:??=2:3. Точка P – середина ребра AD, а Q – середина ребра BC.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ – равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
4. Дана пирамида PABCD, в основании – трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PAD.
б) Найдите объем PKBC, если ??=??=??=3, а высота равна 8.
5. Основанием прямой треугольной призмы ????1?1?1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней ??1?1? и ??1?1? равны 15 и 9 соответственно, ??=13.
а) Докажите, что треугольник ??1?1 – прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды ??1?1?.
6. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4√2. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
7. Основанием прямой треугольной призмы ????1?1?1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ???1?1 является квадратом.
а) Докажите, что прямые ??1 и ??1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми ??1 и ??1, если ??=4, ??=7.
8. В треугольной пирамиде SABC известны боковые ребра ??=??=13, ??=3√17. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите объем пирамиды SABC.