20 апреля 2023
В закладки
Обсудить
Жалоба
16+
Верные утверждения по геометрии
Теория по геометрии к ОГЭ. Задание 19.
v-geo.docx
v-geo.pdf
Аксиомы
→ Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
→ Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.
→ Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
→ Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
→ Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
→ Через любую точку проходит более одной прямой.
→ Через любую точку проходит не менее одной прямой.
→ Через любые две точки можно провести прямую.
→ Через любые три точки проходит не более одной прямой.
→ Через любые три точки проходит не более одной прямой.
Углы
→ Вертикальные углы равны.
→ Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
→ Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
→ Сумма смежных углов равна 180°.
→ Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внешние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внешних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.
Треугольники
→ Сумма углов любого треугольника равна 180° .
→ Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон данного треугольника. (неравенство треугольника)
→ Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
→ Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (1 признак равенства треугольников)
→ Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (2 признак равенства треугольников)
→ Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (3 признак равенства треугольников)
→ Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (1 признак подобия треугольников)
→ Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (2 признак подобия треугольников)
→ Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (3 признак подобия треугольников)
→ Напротив равных углов лежат равные стороны.
→ Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
→ Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
→ Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними.
→ Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой (то есть делит основание на две равные части) и высотой (перпендикулярна основанию).
→ Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
→ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
→ В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
→ В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
→ В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.
→ Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
→ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
→ Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (теорема косинусов).
→ Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
→ Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (теорема синусов)
→ Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
→ Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.
→ Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
→ Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.
Четырёхугольники
→ Сумма углов четырехугольника равна 360°.
→ Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
→ Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
→ В параллелограмме противолежащие углы равны.
→ В параллелограмме противолежащие стороны равны.
→ В параллелограмме сумма смежных углов равна 180°.
→ Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, из которых они выходят, этот параллелограмм является ромбом.
→ Если в параллелограмме диагонали равны, этот параллелограмм является прямоугольником.
→ Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, этот прямоугольник является квадратом.
→ Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
→ Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
→ Диагонали ромба перпендикулярны.
→ Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
→ Диагонали квадрата делят его углы пополам.
→ Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
→ Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.
→ Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
→ Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
→ Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
→ Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
→ Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.
→ Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
→ Трапеция – четырехугольник две стороны которого параллельны, а две другие нет.
→ У равнобедренной трапеции диагонали равны.
→ У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
→ Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
→ Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
→ Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
→ Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
→ Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.
Окружности
→ В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
→ Все диаметры окружности равны между собой.
→ Все радиусы окружности равны между собой.
→ Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
→ Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
→ В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
→ Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
→ Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
→ Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
→ Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
→ Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.
→ Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника (если он тупоугольный).
→ В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
→ Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
→ Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
→ Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
→ Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то окружности касаются в одной точке.
→ Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.
→ Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
→ Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
→ Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
→ Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
→ Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
→ Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
→ Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
→ Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
→ Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
→ Через любые три точки проходит не более одной окружности.
→ Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
→ Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны.
Симметрия
→ Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.
→ Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
→ Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
→ Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
→ Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.
v-geo.docx
v-geo.pdf
Аксиомы
→ Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
→ Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.
→ Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
→ Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
→ Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
→ Через любую точку проходит более одной прямой.
→ Через любую точку проходит не менее одной прямой.
→ Через любые две точки можно провести прямую.
→ Через любые три точки проходит не более одной прямой.
→ Через любые три точки проходит не более одной прямой.
Углы
→ Вертикальные углы равны.
→ Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
→ Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
→ Сумма смежных углов равна 180°.
→ Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внешние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внешних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.
Треугольники
→ Сумма углов любого треугольника равна 180° .
→ Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон данного треугольника. (неравенство треугольника)
→ Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
→ Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (1 признак равенства треугольников)
→ Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (2 признак равенства треугольников)
→ Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (3 признак равенства треугольников)
→ Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (1 признак подобия треугольников)
→ Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (2 признак подобия треугольников)
→ Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (3 признак подобия треугольников)
→ Напротив равных углов лежат равные стороны.
→ Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
→ Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
→ Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними.
→ Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой (то есть делит основание на две равные части) и высотой (перпендикулярна основанию).
→ Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
→ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
→ В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
→ В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
→ В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.
→ Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
→ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
→ Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (теорема косинусов).
→ Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
→ Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (теорема синусов)
→ Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
→ Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.
→ Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
→ Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.
Четырёхугольники
→ Сумма углов четырехугольника равна 360°.
→ Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
→ Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
→ В параллелограмме противолежащие углы равны.
→ В параллелограмме противолежащие стороны равны.
→ В параллелограмме сумма смежных углов равна 180°.
→ Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, из которых они выходят, этот параллелограмм является ромбом.
→ Если в параллелограмме диагонали равны, этот параллелограмм является прямоугольником.
→ Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, этот прямоугольник является квадратом.
→ Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
→ Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
→ Диагонали ромба перпендикулярны.
→ Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
→ Диагонали квадрата делят его углы пополам.
→ Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
→ Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.
→ Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
→ Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
→ Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
→ Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
→ Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.
→ Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
→ Трапеция – четырехугольник две стороны которого параллельны, а две другие нет.
→ У равнобедренной трапеции диагонали равны.
→ У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
→ Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
→ Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
→ Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
→ Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
→ Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.
Окружности
→ В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
→ Все диаметры окружности равны между собой.
→ Все радиусы окружности равны между собой.
→ Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
→ Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
→ В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
→ Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
→ Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
→ Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
→ Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
→ Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.
→ Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника (если он тупоугольный).
→ В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
→ Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
→ Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
→ Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
→ Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то окружности касаются в одной точке.
→ Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.
→ Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
→ Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
→ Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
→ Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
→ Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
→ Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
→ Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
→ Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
→ Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
→ Через любые три точки проходит не более одной окружности.
→ Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
→ Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны.
Симметрия
→ Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.
→ Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
→ Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
→ Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
→ Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.