Общая теория ОГЭ: графики функций и параметры (, )

Задания этого типа обычно состоят из двух частей:

1) построить график функции;

2) найти значения параметра, при которых прямая имеет с графиком заданное число общих точек (0, 1, 2 и т.д.).

I. Общий алгоритм решения

1. Найти область определения (ОДЗ).

2. Упростить формулу (если возможно).

3. Найти особые точки: выколотые, вертикальные и горизонтальные асимптоты.

4. Составить таблицу значений и построить график.

5. Рассмотреть положения параметрической прямой.

6. Посчитать число пересечений на каждом промежутке.

7. Записать ответ в виде числа, множества или объединения промежутков.

II. Дробно-рациональные функции

1) ОДЗ

Приравняйте знаменатель к нулю и исключите «плохие» .

Фраза: «Знаменатель не равен нулю, значит…»

2) Упрощение

Разложите числитель и знаменатель на множители, сократите общий множитель.

Фраза: «При допустимых сокращаем и получаем…»

3) Выколотая точка

Если сократили , то при точка выколотая.

Координаты: подставить в упрощённую формулу.

Фраза: «Точка — выколотая».

4) Асимптоты

— вертикальная: там, где знаменатель и нет сокращения;

— горизонтальная: предел при .

Фраза: «Горизонтальная асимптота: ».

III. Прямая  (горизонталь)

Это «уровень» на оси .

Число пересечений меняется на критических уровнях:

— вершина параболы;

— точка стыка кусочной функции;

— выколотая точка;

— горизонтальная асимптота.

Полезные фразы:

«Рассмотрим положения прямой …»

«При пересечений нет / одно / два».

«На промежутке получаем … точек».

Типовые случаи для :

— 0 точек: уровень совпал с горизонтальной асимптотой или прошёл через выколотую точку;

— 1 точка: касание (вершина) или осталась только одна ветвь;

— 2 точки: обычное пересечение с двумя частями графика.

IV. Прямая  (пучок через начало координат)

Все такие прямые проходят через .

Для гиперболы :

При обычно 2 точки, при часто 0.

Ровно 1 точка — если прямая проходит через выколотую точку.

Фраза: «Прямая — пучок прямых через ».

Фраза: «Подставим координаты выколотой точки в и найдём ».

V. Кусочные функции

График строится по частям, у каждой части свой промежуток.

Обязательно отметить:

— закрашенные и выколотые точки на границах;

— вершины парабол;

— асимптоты гиперболы.

Фраза: «Разберём график по частям».

Фраза: «В точке получаем точку стыка / разрыв».

Фраза: «Считаем пересечения с каждой частью отдельно и складываем».

VI. Как оформлять ответ

— одно значение: или ;

— несколько значений: ;

— промежуток: ;

— объединение: .

VII. Частые ошибки

— не нашли ОДЗ;

— забыли выколотую точку;

— считают выколотую точку пересечением;

— не учитывают асимптоту;

— смешивают условия «1 точка», «2 точки», «нет точек»;

— не проверяют граничные значения параметра.

VIII. Мини-шпаргалка (5 шагов)

1. ОДЗ → 2. Упростить → 3. Особые точки → 4. Таблица и график → 5. Анализ прямой с параметром.

Главное правило: сначала «геометрия графика», потом «интервалы параметра», потом ответ.