Постройте график функции
Определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно две общие точки.
Показать решение
Разберём график по двум частям.
1) Параболическая часть: при .
Это парабола с ветвями вверх. Найдём вершину:
Вершина — точка .
| x | 4 | 5 | 6 | 7 |
| y | 1 | 0 | 1 | 4 |
2) Линейная часть: при .
| x | 3 | 4 |
| y | 1 | 2 |
При получаем разрыв: точка закрашена (входит в параболу), а — выколота (относится к прямой, но не принадлежит графику).
Теперь найдём значения , при которых прямая пересекает график ровно в двух точках.
Уровень : прямая проходит через вершину параболы — одна точка на параболе. Плюс пересечение с прямой при . Итого: 2 точки.
Уровень : прямая проходит через закрашенную точку , а также пересекает левый луч и правую ветвь параболы. Итого: 3 точки — не подходит.
Промежуток : с прямой — одно пересечение, с параболой (только правая ветвь, так как левая даёт ) — ещё одно. Итого: 2 точки.
Уровень : прямая проходит через выколотую точку , она не считается. Остаётся только одно пересечение с параболой. Итого: 1 точка — не подходит.
Объединяем подходящие значения:
Ответ: .
Теория
Теория к задачам: кусочная функция и прямая
В таких задачах функция задана разными формулами на разных промежутках. Нужно построить график и найти, при каких горизонтальная прямая пересекает график заданное число раз (обычно ровно 2).
1. Как строить график
— для каждой формулы составьте таблицу из 2–4 точек;
— если кусок — парабола, обязательно найдите вершину:
— если кусок — прямая, достаточно двух точек;
— соедините точки только в пределах своего промежутка.
2. Границы промежутков — самое важное
Смотрите на знак неравенства:
— или → точка на границе выколотая;
— или → точка закрашенная.
Если на одном значения разные — на графике разрыв (скачок).
3. Что такое прямая
Это горизонтальная линия на высоте . Чтобы найти число пересечений, «проводим» её по оси снизу вверх и считаем, сколько раз она встречает график.
4. Критические уровни
Обязательно отметьте:
— вершину параболы;
— значения в точках стыка и разрыва;
— выколотые и закрашенные точки.
Между соседними критическими уровнями число пересечений обычно не меняется.
5. Алгоритм решения
1) Построить каждый кусок (таблицы + вершина параболы).
2) Отметить выколотые и закрашенные точки.
3) Найти критические уровни .
4) Проверить число пересечений на каждом промежутке по .
5) Записать ответ: промежутки + отдельные значения.
6. Как считать пересечения
— выколотая точка не считается пересечением;
— закрашенная точка считается;
— если прямая проходит через вершину параболы — это 1 точка на этом куске;
— если прямая проходит через точку стыка двух кусков — это 1 точка, даже если там «угол».
7. Типичные ответы
Точки и границы промежутков (включать или нет) зависят от выколотых/закрашенных точек — проверяйте каждую границу отдельно.
8. Частые ошибки
— забывают, что выколотая точка не даёт пересечения;
— путают «2 точки на параболе» и «2 точки на всём графике»;
— не учитывают левый/правый кусок при разрыве;
— включают в ответ границу, где число пересечений меняется (например, где уже 3 точки).
Главная идея: построить график аккуратно по кускам, выделить критические уровни и на каждом промежутке посчитать, сколько раз горизонтальная прямая пересекает график.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий