Постройте график функции
Определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно две общие точки.
Показать решение
Каждый из трёх кусков функции линеен. Разберём их по отдельности.
1-й участок: при .
Возрастающий луч. Граничное значение при : , но точка не включается.
| x | 0 | 2 |
| y | −3 | 3 |
2-й участок: при .
Убывающий отрезок. Вычислим оба конца:
| x | 2 | 3 |
| y | 2,5 | −0,5 |
При : первый участок даёт (выколотая точка), второй участок даёт (закрашенная). Значит, здесь разрыв: — выколотая точка, — закрашенная.
3-й участок: при .
Возрастающий луч. Граничное значение при : , точка не включается.
| x | 3 | 4 |
| y | −0,5 | 3 |
При : второй участок заканчивается в (закрашенная — точка стыка), третий начинается там же, но точка не включается.
Ключевые точки графика:
— — выколотая;
— — закрашенная;
— — точка стыка (закрашенная).
Находим значения , при которых пересекает график ровно в двух точках.
Положение 1 — прямая проходит через точку стыка :
Пересечение с первым участком есть, с третьим — нет (точка выколотая). Итого: 2 точки.
Положение 2 — прямая проходит через закрашенную точку :
Пересечение с первым участком и с третьим есть, со вторым — только в . Итого: 2 точки. При прямая касается второго участка ровно в его левом конце.
Положение 3 — прямая проходит через выколотую точку :
Выколотая точка не является пересечением. Прямая пересекает только первый и третий участки. Итого: 2 точки, но при выколотая точка не считается, поэтому это значение не подходит.
Промежуток между положением 2 и 3: при прямая пересекает первый, второй и третий участки. Итого: 2 точки (второй участок даёт одно пересечение, и первый или третий — ещё одно).
Проверим аккуратно: при прямая не пересекает второй участок (он лежит от до ), зато пересекает первый и третий. Итого: 2 точки.
Объединяем все подходящие значения:
Ответ: .
Теория
1) Сначала строим график по частям. Для каждой формулы (на своём промежутке) отмечаем минимум 2 точки и обязательно проверяем граничные значения промежутков.
2) Особое внимание — на концы промежутков:
— если условие вида или , точка в конце выколотая;
— если или , точка закрашенная.
3) В таких задачах прямая горизонтальная. Значит, по сути считаем, сколько раз уровень пересекает график.
4) Удобно выделить «критические» уровни — значения в вершинах, точках стыка, точках разрыва. Между соседними критическими уровнями число пересечений обычно не меняется.
5) Проверяем отдельно:
— открытые точки (они не считаются пересечением);
— уровни, проходящие точно через вершины/стыки (там число пересечений может резко измениться).
6) Финальный ответ обычно записывают как промежуток(и) и отдельные точки, например:
Полезный совет: сделайте мини-таблицу «уровень → количество пересечений». Это почти всегда спасает от ошибок с выколотыми/закрашенными точками.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий