Постройте график функции
Определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно две общие точки.
Показать решение
Заданная функция состоит из трёх кусков, и на каждом из них она линейна. Разберём их по отдельности.
1-й участок: при .
Это возрастающая прямая. Найдём несколько точек для построения:
| x | 0 | 2 |
| y | −1 | 4 |
Точка на этом участке не включается, так как .
2-й участок: при .
Это убывающий отрезок. Вычислим координаты концов:
| x | 2 | 3 |
| y | 4 | 0,5 |
В точке график непрерывен: оба куска дают .
3-й участок: при .
Это снова возрастающая прямая. Возьмём две точки:
| x | 3 | 4 |
| y | 2 | 3 |
При получаем , но эта точка не входит в график, потому что . Значит, — выколотая точка.
Важные особенности графика:
— — точка стыка, график здесь не разрывается;
— — закрашенная точка, принадлежит второму участку;
— — выколотая точка, относится к третьему участку;
— при график «перепрыгивает» с уровня на уровень .
Найдём значения , при которых прямая пересекает график ровно в двух точках.
Рассмотрим характерные положения горизонтальной прямой.
Случай 1. Прямая проходит через :
Есть пересечение с первым участком и одна общая точка на втором участке. Итого: 2 точки.
Случай 2. Прямая проходит через выколотую точку :
Выколотая точка не считается пересечением, но прямая всё равно пересекает первый и второй участки по одному разу. Итого: 2 точки.
Промежуток между случаями 1 и 2. Если , то:
— с первым участком пересечение есть всегда;
— со вторым участком пересечение тоже есть;
— с третьим участком пересечения нет, так как третий кусок начинается выше уровня .
Значит, на всём промежутке получаем ровно 2 точки.
Случай 3. Прямая проходит через точку стыка :
Одна общая точка — , вторая — на третьем участке. Итого: 2 точки.
Объединяем подходящие значения:
Ответ: .
Теория
1) Сначала строим график по частям. Для каждой формулы (на своём промежутке) отмечаем минимум 2 точки и обязательно проверяем граничные значения промежутков.
2) Особое внимание — на концы промежутков:
— если условие вида или , точка в конце выколотая;
— если или , точка закрашенная.
3) В таких задачах прямая горизонтальная. Значит, по сути считаем, сколько раз уровень пересекает график.
4) Удобно выделить «критические» уровни — значения в вершинах, точках стыка, точках разрыва. Между соседними критическими уровнями число пересечений обычно не меняется.
5) Проверяем отдельно:
— открытые точки (они не считаются пересечением);
— уровни, проходящие точно через вершины/стыки (там число пересечений может резко измениться).
6) Финальный ответ обычно записывают как промежуток(и) и отдельные точки, например:
Полезный совет: сделайте мини-таблицу «уровень → количество пересечений». Это почти всегда спасает от ошибок с выколотыми/закрашенными точками.
Источник задачи: ФИПИ, Открытый банк заданий